Mavzu: Shartli yaqinlashuvchi qatorlar haqidagi Riman teoremasi Bajargan: Aydarova Dilfuza Qabul qilgan: Reimbaeva Dilafruz Nukus 2021 reja

1.4. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Biz yuqorida ko’rdikki, yaqinlashuvchi qator biror sonni ifodalar ekan. Shu sababli qatorlarga oid asosiy masalalardan biri berilgan qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlashdan iborat. Amalda berilgan qator xususiy yig’indisi ni n orqali ifodalash, bu ifodaning limitini topish murakkab masalaga aylanadi.
Shu sababli qator yaqinlashishi (uzoqlashishi) alomatlarini bilish muhim hisoblanadi. Shuni ta’kidlash kerakki bunday alomatlar ko’p bo’lib, ulardan birini foydalanish qulay bo’lgan holda ikkinchisi natija bermasligi ham mumkin.
Quyida qator yaqinlashishining zaruriy shartini keltiramiz:
Teorema. Agar

qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda uning umumiy hadi n cheksizga intilganda nolga intiladi, ya’ni bo’ladi.

Isboti: Faraz qilaylik, (1) qator yaqinlashuvchi va yig’indisi S ga ya’ni bo’lsin. U holda ketma-ketlikning qism ketma-ketligi


ham yaqinlashuvchi va bo’ladi.

Ravshanki, bundan mavjud va

Shunday qilib, (1) qator yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning umumiy hadi nolga intilishi zarur ekan.

Yuqoridagi teoramadan qator uzoqlashining yetarli sharti kelib chiqadi.
Natija. Agar (1) qatorning umumiy hadi n cheksizga intilganda noldan farqli chekli limitga ega bo’lsa, yoki limitga ega bo’lmasa, u holda bu qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Bu natija ba’zi qatorlarning uzoqlashuvchi ekanligiga oson ishonch hosil qilishga yordam beradi.
1-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring.


Yeshish: Qatorning umumiy hadi ga teng va
demak, uqoridagi natijaga ko’ra qator
uzoqlashuvchi.


2-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishiga tekshiring.
Yechish: Bu qatorning umumiy hadi va . Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.


3-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishiga tekshiring.


Yechish: Bu qatorning umumiy hadi da limitga ega emas. Demak, qator uzoqlashuvchi.

Yuqorida isbotlangan teoremaning teskarisi, ya’ni shartdan qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqavermaydi.

Bunga misol sifatida garmonik qator deb ataluvchi ushbu qatorni qaraymiz:


(2)

Garmonik qatorning uzoqlashuvchi ekanliligini ko’rsatamiz. Buning uchun teskaridan, ya’ni garmonik qator yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. U holda uning

xususiy yig’indisi chekli S limitga ega bo’ladi. Ravshanki,
qatorning xususiy yig’indisi ham
shu limitga ega bo’ladi
Bu holda



Ammo


,

ya’ni , bundan ketma-ketlikning da nolga

intilmasligi kelib chiqadi. Bu esa garmonik qator yaqinlashuvchi degan farazimizga zid. Demak, garmonik qator uzoqlashuvchi ekan.

Izok. (2) qatorning ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi u bilan qo’shni bo’lgan hadlarning o’rta garmonigi deb(ikkita musbat a va b sonlarining o’rta garmonigi deb songa aytiladi). Shu sababli bu qator garmonik qator deyiladi.