Mavzu: Shartli yaqinlashuvchi qatorlar haqidagi Riman teoremasi Bajargan: Aydarova Dilfuza Qabul qilgan: Reimbaeva Dilafruz Nukus 2021 reja

1.2 Yaqinlashuvchi qatorlarning asosiy xossalari. Bzga ushbu


(1)

va

(2)

Qatorlar berilgan va c ixtiyoriy o’zgarmas son bo’lsin.

Ushbu


+…+ … (3)

qator (1) qatorni c o’zgarmas songa ko’paytirish natijasida hosil qilingan deyiladi.

qatorlar esa, mos ravishda (1) va (2) qatorlarning yig’indisi va ayirmasi deb ataladi.

1-teorema. Agar (1) qator yaqinlashuvchi, yig’indisi S ga teng bo’lsa, u holda (3) qator ham yaqinlashuvchi bo’lib, yig’indisi cS bo’ladi.
Isboti: (3) qatorning n-xususiy yig’indisini yozib olamiz:
. Buni quyidagicha yozish mumkin:


, bu yerda (1) qatorning n-xususiy

yig’indisi. Teorema shartiga ko’ra , u holda limit mavjud

bo’ladi: .

Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorni o’zgarmas songa ko’paytirish natijasida yana yaqinlashuvchi qator hosil bo’ladi va uning yig’indisini topish uchun berilgan qator yig’indisini shu songa ko’paytirish kifoya.

2-teorema: Agar (1) va (2) qatorlar yaqinlashuvchi va yig’indilari mos ravishda S va S’ bo’lsa u holda (4) va (5) qatorlar ham yaqinlashuvchi bo’lib, ularning yig’indilari ham mos ravishda S+S’ va S-S’ ga teng bo’ladi.
Isboti: (4) qatorning yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun qatorning n-xususiy yig’indisini yozib olamiz:

Bu tenglikni quyidagicha yozib olish ham mumkin:

bu yerda mos mos ravishda (1) va (2) qatorning xususiy yig’indilari.

Teorema shartiga ko’ra . Shu sababli

tenglikda limitga o’tish mumkin:

Demak (4) qator yaqinlashuvchi va yig’indisi S+S’ ga teng ekan.

Yuqoridagi kabi isbotni (5) qator uchun ham isbotlash mumkin.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorlarni chekli yig’indilar kabi qo’shish va ayirish mumkin ekan. Bu natijani yaqinlashuvchi qatorlarning algebrik yig’indilari uchun ham umumlashtirish mumkin ekan.