Mavzu: Vektirlarning chiziqli bog`liqligi va chiziqli erkinligi

Chiziqli bog'liqlik \ (emas) vektorlar tizimi (ta'riflar, xususiyatlar)
Teorema. (Vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi uchun zarur va etarli shart.)
Vektor fazodagi vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi, agar tizim vektorlaridan biri ushbu tizimning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa.
Isbot. Kerak. e 1 ..e n sistema chiziqli bog liq bo lsin. Keyin, ta'rifga ko'ra, u nol vektorni ahamiyatsiz bo'lmagan tarzda ifodalaydi, ya'ni. nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlar tizimining ahamiyatsiz chiziqli birikmasi mavjud:

a 1 e 1 +..+ a n e n =0, bunda bu chiziqli birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas. a k ≠0 ,ks 1,2…n bo‘lsin, oldingi tenglikning ikkala qismini ham shu nolga teng bo‘lmagan koeffitsientga bo‘ling (ya’ni a k ​​-1 ga ko‘paytiring *(a 1 e 1 +..+ aa n e n) =0

Belgilang: a k -1 a m =b m bu yerda ms 1,2…,k-1,k+1,..,n Keyin b 1 e 1+ … +b 1 e n =0 ya’ni. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning boshqa vektorlari bilan ifodalanadi va hokazo.
Adekvatlik. Sistema vektorlaridan biri chiziqli ravishda shu sistemaning boshqa vektorlari bilan ifodalansin: e k =g 1 e 1+..+ g n e n.
e k vektoridagi koeffitsient -1≠0 ga teng bo'lganligi sababli, biz e 1 ..e n vektorlar tizimi orqali nolning notrivial tasviriga ega bo'lamiz, bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.
Teorema isbotlangan.
Natija.
1. Vektor fazodagi vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil hisoblanadi, agar sistema vektorlaridan hech biri ushbu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanmasagina.
2. Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.
Natija.
Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.
Bazis - vektor fazodagi vektorlar to'plami, bu fazoning istalgan vektori bo'lishi mumkin yagona yo'l bu to'plam-bazi vektorlardan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi.
Berilgan vektorlar tizimining har qanday maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimiga kiritilgan vektorlar soni deyiladi. daraja tizimlari.