Mavzu: Vektirlarning chiziqli bog`liqligi va chiziqli erkinligi

Def. x 1 ,…,x m ∈ V elementlar sistemasi, agar tenglikdan l 1 x 1 +…+ l m x m = th ⟹l 1 =…= l m =0 bo‘lsa, chiziqli mustaqil deyiladi.
Def. X ∈ V element x 1 ,…,x m ∈ V elementlarning chiziqli birikmasi deyiladi, agar ∃ l 1 ,…, l m ∈ ℝ bo‘lsa, x= l 1 x 1 +…+ l m x m bo‘ladi.
Teorema (chiziqli bog'liqlik mezoni): X 1 ,…,x m ∈ V vektorlar tizimi, agar tizimning kamida bitta vektori boshqalari bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.
Doc. Kerak: x 1 ,…,xm chiziqli bog‘liq bo‘lsin ⟹ ∃ l 1 ,…, l m ∈ ℝ (|l 1 |+…+| l m | ≠ 0) shundayki, l 1 x 1 +…+ l m -1 xm -1 + lmxm = th. Faraz qilaylik, l m ≠ 0, u holda
x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.
Adekvatlik: Vektorlardan kamida bittasi qolgan vektorlar bilan chiziqli ifodalansin: xm = l 1 x 1 +…+ l m -1 xm -1 (l 1 ,…, l m -1 ∈ ℝ) l 1 x 1 +…+ l m -1 xm -1 +(-1) xm =0 l m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,xm - chiziqli mustaqil.
Ven. chiziqli bog'liqlik sharti:
Agar tizimda nol element yoki chiziqli qaram quyi tizim bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.
l 1 x 1 +…+ l m x m = 0 – chiziqli bog‘liq tizim
1) x 1 = th bo‘lsin, u holda bu tenglik l 1 =1 va l 1 =…= l m =0 uchun amal qiladi.
2) l 1 x 1 +…+ l m x m =0 chiziqli bog‘liq quyi tizim bo‘lsin ⟹|l 1 |+…+| l m | ≠ 0. U holda l 1 =0 uchun |l 1 |+…+| ni ham olamiz l m | ≠ 0 ⟹ l 1 x 1 +…+ l m x m =0 chiziqli bog‘liq sistemadir.
Chiziqli fazoning asosi. Berilgan asosdagi vektor koordinatalari. Vektorlar yig'indisining koordinatalari va vektorning songa ko'paytmasi. Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligi uchun zarur va yetarli shart.
Ta'rifi: V chiziqli fazoning e 1, ..., e n elementlarning tartiblangan sistemasi ushbu fazoning asosi deyiladi, agar:
A) e 1 ... e n chiziqli mustaqil
B) ∀ x ∈ a 1 … a n shundayki, x= a 1 e 1 +…+ a n e n
x= a 1 e 1 +…+ a n e n – e 1, …, e n asosda x elementning kengayishi.
a 1 … a n ∈ ℝ - e 1, …, e n asosdagi x elementning koordinatalari.
Teorema: Agarda chiziqli fazo V ga e 1, …, e n asos beriladi, keyin ∀ x ∈ V e 1, …, e n asosidagi x koordinatalar ustuni yagona aniqlanadi (koordinatalar yagona aniqlanadi)
Isbot: x=a 1 e 1 +…+ a n e n va x=b 1 e 1 +…+b n e n bo‘lsin.

x= ⇔ = D, ya'ni e 1, …, e n chiziqli mustaqil, u holda - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Teorema: e 1, …, e n chiziqli V fazoning asosi bo‘lsin; x, y fazoning ixtiyoriy elementlari V, l ∈ ℝ - ixtiyoriy raqam. X va y qo'shilganda ularning koordinatalari qo'shiladi, x ni l ga ko'paytirilsa, x ning koordinatalari ham l ga ko'paytiriladi.