Mavzu: Vektirlarning chiziqli bog`liqligi va chiziqli erkinligi

Teorema. Ikkita tizim berilsin P- o'lchovli vektorlar:
a 1 ,a 2,¼, a r (9)
b 1 ,b 2,¼, bs, (10)
chiziqli mustaqil bo'lishi shart emas va tizim darajasi (9) soniga teng k, tizimning darajasi (10) - son l. Agar birinchi sistema ikkinchisi bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda k £ l. Agar bular tizimlari ekvivalentdir, keyin k = l.
Fazoning maksimal chiziqli mustaqil kichik to'plamining elementlari soni (kardinalligi) bu kichik to'plamni tanlashga bog'liq emas va fazoning darajasi yoki o'lchami deb ataladi va bu kichik to'plamning o'zi esa bazis deb ataladi.
Ushbu maqolada biz quyidagilarni ko'rib chiqamiz:

• 
  kollinear vektorlar nima;
  
• 
  kollinear vektorlar uchun qanday shartlar mavjud;
  
• 
  kollinear vektorlarning xossalari qanday;
  
• 
  kollinear vektorlarning chiziqli bog'liqligi qanday.
  

Ta'rif 1
Kollinear vektorlar bir xil chiziqqa parallel yoki bir chiziqda yotuvchi vektorlardir.
1-misol
KOLLINEAR VEKTORLAR UCHUN SHARTLAR
Quyidagi shartlardan biri to‘g‘ri bo‘lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi:

• 
  shart 1 . a va b vektorlari a = l b bo'lgan l soni bo'lsa, kollineardir;
  
• 
  shart 2 . a va b vektorlari koordinatalarning teng nisbati bilan kollineardir:
  

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 
  shart 3 . a va b vektorlari kollinear bo'ladi, agar vektor mahsuloti va nol vektor teng bo'lsa:
  

a ∥ b ⇔ a , b = 0
Izoh 1
2-shart vektor koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, qo'llanilmaydi.
Izoh 2
3-shart faqat fazoda berilgan vektorlar uchun amal qiladi.

VEKTORLARNING KOLLINEARLIGINI O'RGANISHGA OID MASALALARGA MISOLLAR
1-misol
Biz a \u003d (1; 3) va b \u003d (2; 1) vektorlarini kollinearlik uchun tekshiramiz.
Qanday qaror qilish kerak?
Bunda kollinearlikning 2-shartidan foydalanish zarur. Berilgan vektorlar uchun u quyidagicha ko'rinadi:
Tenglik noto'g'ri. Bundan a va b vektorlar kollinear emas degan xulosaga kelish mumkin.
Javob : a | | b
2-misol
Vektorlar kollinear bo'lishi uchun a = (1 ; 2) va b = (- 1 ; m) vektorning qanday m qiymati kerak?
Qanday qaror qilish kerak?
Ikkinchi kollinear shartdan foydalanib, vektorlar, agar ularning koordinatalari proportsional bo'lsa, ular kollinear bo'ladi:
Bu m = - 2 ekanligini ko'rsatadi.
Javob: m = - 2.

VEKTORLAR SISTEMALARINING CHIZIQLI BOG`LIQLIGI VA CHIZIQLI MUSTAQILLIGI MEZONLARI
Teorema
Vektor fazodagi vektorlar sistemasi faqat sistema vektorlaridan biri tizimning qolgan vektorlari bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan taqdirdagina chiziqli bog'liq bo'ladi.
Isbot
Sistema e 1, e 2, bo'lsin. . . , e n chiziqli bog'liqdir. Keling, yozamiz chiziqli birikma bu sistemaning nol vektoriga teng:
a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0
unda birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas.
a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, bo'lsin. . . , n.
Tenglikning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ajratamiz:
a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0
Belgilang:
A k - 1 a m, bu erda m ∈ 1, 2,. . . , k - 1, k + 1, n
Unday bo `lsa:
b 1 e 1 + . . . + b k - 1 e k - 1 + b k + 1 e k + 1 +. . . + bn e n = 0
yoki e k = (- b 1) e 1 + . . . + (- b k - 1) e k - 1 + (- b k + 1) e k + 1 + . . . + (- b n) e n
Bundan kelib chiqadiki, tizim vektorlaridan biri tizimning barcha boshqa vektorlari bilan ifodalanadi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (p.t.d.).
Adekvatlik
Vektorlardan biri tizimning boshqa barcha vektorlari bilan chiziqli ifodalansin:
e k = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n
e k vektorini ushbu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz:
0 = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 - e k + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n
e k vektorining koeffitsienti - 1 ≠ 0 ga teng bo'lgani uchun e 1 , e 2 , vektorlar sistemasi orqali nolning notrivial tasvirini olamiz. . . , e n , bu esa o‘z navbatida shuni bildiradi bu tizim vektorlar chiziqli bog'liqdir. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (p.t.d.).
Natija:

• 
  Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil hisoblanadi, agar uning vektorlaridan hech biri tizimning boshqa barcha vektorlari bilan ifodalana olmasa.
  
• 
  Null vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektor tizimi chiziqli bog'liqdir.
  

CHIZIQLI BOG'LIQ VEKTORLARNING XOSSALARI

1. 
   2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun shart bajariladi: ikkita chiziqli bog'liq vektor kollineardir. Ikki kollinear vektor chiziqli bog'liqdir.
   
2. 
   3 o'lchovli vektorlar uchun shart bajariladi: uchta chiziqli bog'liq vektorlar- koplanar. (3 koplanar vektor - chiziqli bog'liq).
   
3. 
   n o'lchovli vektorlar uchun shart bajariladi: n + 1 vektorlar doimo chiziqli bog'liqdir.
   

VEKTORLARNING CHIZIQLI BOG’LIQLIGI YOKI CHIZIQLI MUSTAQILLIGI MASALALARINI YECHISH MISOLLARI
3-misol
a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 vektorlarning chiziqli mustaqilligini tekshiramiz.
Yechim. Vektorlar chiziqli bog'liqdir, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.
4-misol
a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 vektorlarning chiziqli mustaqilligini tekshiramiz.
Yechim. Biz chiziqli birikma nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0
Biz vektor tenglamani chiziqli shaklda yozamiz:
x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0
Ushbu tizimni Gauss usuli yordamida hal qilamiz:
1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~
2-qatordan 1-chini, 3-chidan 1-ni ayiramiz:
~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~
1-qatordan 2-chini ayirib, 2-ni 3-chi qatorga qoʻshing:
~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0
Yechimdan kelib chiqadiki, tizim ko'plab echimlarga ega. Bu shuni anglatadiki, x 1, x 2, x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, ular uchun a, b, c chiziqli birikmasi nol vektoriga teng. Demak, a , b , c vektorlar chiziqli bog'liq.​​​​​​​
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Def. Elementlar tizimi x 1 ,…,x m lin. ishlab chiqarish V chiziqli bog'liq deb ataladi, agar ∃ l 1 ,…, l m ∈ ℝ (|l 1 |+…+| l m | ≠ 0) bo'lsa, l 1 x 1 +…+ l mxm = th bo'ladi.