Методы решения

Обобщенно-однородные уравнения

Уравнение называется обобщенно-однородным, если его можно привести к однородному заменой y = z^m , где m — некоторое действительное число.
Пример 4. Рассмотрим уравнение
9yy′ − 18xy + 4x³ = 0. (3.9)
Делая в нем замену , получаем . Для того, чтобы это уравнение было однородным относительно x и z , необходимо, что- бы степени всех одночленов были одинаковыми: . Эти два равенства образуют переопределенную систему двух уравнений относитель- но одного неизвестного m, которая в общем случае решения не имеет. Тем не менее, видно, что m = 2 является ее решением. Делаем замену y = z² , придем к однородному уравнению

Теперь подстановка z = tx приводит к уравнению


или

Сделаем еще одну замену t² = u, тогда

Интегрируя, получаем

откуда

Сделав обратные замены получим окончательно

При этом мы производили деление на x, , . Видно, что не
является решением исходного уравнения. Случаи u = 2/3 и u = 1/3 дают, соответственно, и . Подставляя эти функции в уравнение , мы убеждаемся, что они являются его решениями. Они соответствуют решениям и исходного уравнения (3.9).
Второе из этих решений содержится в серии при C = 0, а первое не содержится, поэтому его необходимо включить в окончательный ответ.
Замечание. Чтобы определить, будет ли уравнение обобщенно-однородным, удобно ввести понятие измерения. Так, переменной x ставят в соответствие измерение 1, искомой функции y — измерение m, а производной y измерение m 1. Число m пытаются подобрать так, чтобы измерения всех членов, входящих в уравнение, были одинаковыми. Действия с измерениями аналогичны действиям со степенями: если два члена уравнения перемножаются, то их измерения складываются, если какой-либо член уравнения возводится в степень, то его измерение умножается на показатель степени. Так, в рассмотренном примере, измерения членов , и равны, соответственно, , и 3. Приравняв их все: , найдем . Поэтому в уравнении (3.9) можно сразу сделать замену .