Методы решения

Уравнения Бернулли

Уравнение вида
, (4.7)
называется уравнением Бернулли. Разделим обе части уравнения на yⁿ . По лучим уравнение

Поскольку замена приводит это уравнение к линейному относительно z:

При n > 0 функция y = 0 является решением уравнения (4.7), а при n < 0
не является.
Пример 3. Рассмотрим уравнение
. (4.8)
Решение. Перепишем его в виде

Откуда
(4.9)
Это уравнение Бернулли при Делаем замену , тогда
. Подставив эти выражения в (4.9), получим
откуда
Решая полученное линейное уравнение, найдем
.
Возвращаясь к переменным (x, y), получаем окончательно
.
К этому общему интегралу следует добавить решение x = 0, потерянное при приведении уравнения к виду (4.9).

3. Обобщенные уравнения Бернулли

Обобщенным уравнением Бернулли называется уравнение

где φ(y) — некоторая дифференцируемая функция. Делая замену
(тогда ), придем к линейному уравнению
Пример 4. Рассмотрим уравнение



Решение. Роль функции φ(y) в этом уравнении играет функция ln y. Полагая , придем к уравнению . Решая это уравнение, найдем . Делая обратную замену, получим

4. Уравнения Риккати

Уравнение вида
(4.10)
называется уравнением Риккати. В отличие от всех уравнений, рассматри- вавшихся ранее, уравнение Риккати не всегда интегрируется в квадратурах. Чтобы решить его, необходимо знать хотя бы одно частное решение этого уравнения. Тогда замена приводит это уравнение к уравнению Бернулли. Однако, проще сразу сделать замену

которая сводит уравнение Риккати к линейному.