Методы решения

Пример 2. Рассмотрим уравнение
. (3.6)

Решение. При дифференциалах dx и dy стоят однородные функции степени 2. Подставим . Получим . Сокращая на (проверьте, что x = 0 является решением!) и раскры- вая скобки, получаем , откуда
или
Решая последнее уравнение, получаем



Если постоянную C взять в виде , то
или e^t = Cxt.
Возвращаясь к переменным x, y , имеем окончательно
e^y/x = Cy.
В процессе решения мы производили деление на t. Равенство t = 0 экви- валентно тому, что y = 0. Легко видеть, что эта функция также является решением исходного уравнения, поэтому ее следует добавить к полученному общему интегралу. Если же общее решение записать в виде y = Ce^y/x , то решение y = 0 получится при C = 0.

2. Уравнения, приводящиеся к однородным

Уравнение вида
ю заменой точка пересечения прямых и . Если же эти прямые не пересекаются, то для некоторого и уравнение (3.7) имеет вид Решение таких уравнений было рассмотрено в п. 1.2.
Пример 3. Пусть дано уравнение
. (3.8)
Решение. Решая систему
находим . Сделаем замену тогда
. Уравнение (3.8) принимает вид
.
Решив его с помощью подстановки , получим

Возвращаясь к исходным переменным (x, y), найдем
x² + 2xy − y² − 4x + 8y = C.

3.