Методы решения

Пример 5. Рассмотрим уравнение
. (4.11)
Решение. Прежде всего нужно найти частное решение. Заметим, что пра- вая часть уравнения является многочленом второй степени от x и y . Это наводит на мысль искать частное решение в виде . Подставив это выражение в уравнение, придем к необходимости выполнения тождества:
ax + a²x² + 2abx + b² − 2ax − 2b ≡ 4x² − 2x.
Приравняем коэффициенты при x² , x и свободные члены. Получим пере пределенную систему уравнений

Однако, легко видеть, что пара чисел является ее решением. Значит, есть частное решение уравнения (4.11).

Делаем замену неизвестной функции . Тогда .
Подставляя это в уравнение (4.11) и приводя подобные слагаемые, получаем уравнение
или
Его решение имеет вид

Сделав обратную подстановку найдем общий интеграл уравнения (4.11):

Записав выражение 4C как новую произвольную постоянную C , выразим из полученного соотношения y:

§5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий мно-житель

1. Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение первого порядка, записанное в дифференциалах. Это уравнение
(5.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть яв- ляется дифференциалом некоторой функции F (x, y). Тогда это уравнение можно переписать в виде dF (x, y) = 0, так что его решение будет иметь вид
F (x, y) = C. (5.2)
Если функции и определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные по x и по y , то уравнение (5.1) будет уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда выполняется тождество
(5.3)

Если условие (5.3) выполнено, то криволинейный интеграл

не зависит от выбора пути интегрирования, поэтому ункцию можновосстановить по любой из формул


(5.4)
Или

При этом нижние пределы и можно выбирать произвольно, лишь быточка принадлежала области D (области определения функций M и N ). За счет правильного выбора чисел x0 и y0 иногда удается упростить вычисления интегралов (5.4), (5.5). Например, если функции M и N являются многочленами от x и y, целесообразно выбирать