Методы решения

Пример 1. Рассмотрим уравнение
(5.6)
Здесь так что условие (5.3) выполнено.
Общий интеграл найдем по формуле (5.4), взяв :

Таким образом, общее решение уравнения (5.6) имеет вид Это уравнение можно решать и другим способом. Его левая часть представляет собой дифференциал некоторой функции поэтому
(5.7)
Будем временно считать в первом уравнении (5.7) переменную y не зависящей от x. Тогда на это уравнение можно смотреть как на обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором x — независимая переменная, F — искомая функция, а y — параметр. Интегрируя, получаем
(5.8)
так как первообразные M(x, y) отличаются на функцию, зависящую от y.
Возьмем от этого равенства частную производную по y, учитывая второе изравенств (5.7):

Отсюда
Интегрируя, получаем

Подставив любое значение этой первообразной в (5.8), найдем общий интеграл исходного уравнения по формуле (5.2).
Пример 2. Решим этим способом уравнение (5.6) из предыдущего примера. Проинтегрировав функцию по переменной x, получим
Приравнивая и получаем
,
откуда и . Полагая , общий интеграл уравнения запишем в виде .
5.2. Метод интегрируемых комбинаций
В некоторых случаях уравнение удается решить или упростить, выделив в нем группу членов, представляющих собой полный дифференциал или выражение, легко приводящееся к полному дифференциалу умножением или делением на какую-нибудь функцию. При этом можно использовать соотношения



и т. п.
Пример 3. Решим уравнение
. (5.9)
Решение. Перепишем его в виде
и, выделив интегрируемую комбинацию, сделаем замену t = y/x: