Методы решения

Пример 2. Пуля, двигаясь со скоростью , пробивает стену толщиной h = 0,2 м и вылетает из нее со скоростью . Считая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время T движения пули в стене.
Решение. Второй закон Ньютона гласит, что сумма сил, действующих на тело, векторно равна ускорению тела, помноженному на его массу. Ускорение тела есть В данном случае на пулю действует сила сопротивления (знак «-» соответствует направлению силы сопротивления). Кроме того, на нее действует сила тяжести mg, которой в данном случае можно пренебречь. Следовательно, уравнение движения пули имеет вид . Массу пули можно считать единичной (а можно считать коэффициент сопротивления равным k/m). Поэтому мы запишем это уравнение в виде
.
Решая его, получаем откуда . Подставив t = 0, получим 1/C = v0. После этого, подставив t = T , получим , откуда . Осталось определить величину k. Путь, пройденный
пулей в стене, равен . Вычислим этот интеграл:

Подставив сюда численные данные, указанные в условии, получим откуда . Наконец,

Пример 3. На дне цилиндрического резервуара, заполненного жидкостью, образовалось отверстие. В течение первых суток вытекло 10% содержимого. Определить, когда из сосуда вытечет половина жидкости. Скорость истечения жидкости через малое отверстие, находящееся на расстоянии h ниже уровня жидкости, равна (закон Торричелли), где µ — некоторый коэффициент. Можно считать .

Решение. Обозначим h(t) уровень жидкости в резервуаре. Пусть S — площадь основания резервуара, а s₀ — площадь отверстия. Рассмотрим про- межуток времени от t до . За этот промежуток количество жидкости в резервуаре изменится на величину C другой стороны, в течение этого промежутка уровень жидкости равен , где — величина б´ольшего порядка малости, чем ∆t. Слеовательно, количество
жидкости, вытекшей за это время, будет равно Отсюда

Поделим обе части уравнения на S · ∆t и перейдем к пределу при ∆t → 0.

Получим Обозначив получим для функции h уравнение Его решение имеет вид . Поскольку нам нужно найти время, а не высоту, не будем выражать h из этого соотношения. Будем считать высоту резервуара равной 1. Тогда из условий задачи вытекает, что и . Первое из этих равенств дает C = 2, тогда из второго следует, что . Нам требуется решить уравнение . Тогда T удовлетворяет уравнению , из которого

Ответ: примерно через 68 ч 30 мин.
Пример 4. Найти кривую, проходящую через точку (2, 3) и обладающую тем свойством, что отрезок произвольной ее касательной, концы которого лежат на осях координат, делится точкой касания пополам.