Методы решения

разделяющимися переменными

Пример 4. Рассмотрим уравнение
. (1.6)
Решение. Сделаем замену , тогда

Поэтому
Подставим это в исходное уравнение:
откуда

Интегрируя последнее уравнение и делая обратную замену, получим

откуда

Поскольку выражение не обращается в нуль в ни при одном значении , потери решений не произошло.

§2. Задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными

При составлении дифференциальных уравнений в физических задачах важно правильно выбрать независимую переменную и искомую функцию, описывающую происходящий процесс. За независимую переменную, как пра- вило, берется время t от начала процесса. Рассматривая приращение искомой функции за произвольный малый промежуток времени и выражая это приращение через данные, указанные в задаче, в пределе, при стремлении этого промежутка времени к нулю, получают дифференциальное уравнение. Часто дифференциальное уравнение можно составить исходя из физического смысла производной. Так производная неизвестной функции означает скорость ее изменения: — путь, — скорость; — скорость, ускорение и т.д. При составлении дифференциальных уравнений в геометрических задачах используется геометрический смысл производной.

Пример 1. Через 12 часов после начала опыта численность некоторой по- пуляции бактерий возросла в 3 раза. Во сколько раз увеличится число бактерий через трое суток? Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству.
Решение. Пусть x(t) — количество бактерий в момент времени t. Скорость их размножения (изменение их количества в момент времени t) есть производная . Отсюда получаем дифференциальное уравнение
где k — некоторый коэффициент, пока неизвестный. Решая это уравнение, получаем . Примем, что начальное количество бактерий равно N (в принципе, ничто не мешает считать это количество равным единице). Подставляя , получаем . После этого подставим t = 12. Получим , откуда . Следовательно, Ответ: количество бактерий возрастет в 729 раз.