Методы решения

_КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Киясов С. Н., Шурыгин В. В.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ,

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Казань — 2011

УДК 517.9

Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
методической комиссии механико-математического факультета
Протокол № 9 от 7 апреля 2011 г.
заседания кафедры дифференциальных уравнений Протокол № 9 от 23 марта 2011 г.
Научный редактор:
доктор физ.-мат. наук, проф. И.А. Бикчантаев
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, проф. КФУ Н.Б. Плещинский канд. физ.-мат. наук, проф. КВВКУ Л.К. Астафьева

Киясов Сергей Николаевич, Шурыгин Вадим Вадимович. Дифференциальные уравнения. Основы теории, методы решения задач:

Учебное пособие / С.Н. Киясов, В.В. Шурыгин. – Казань: Казанский феде-
ральный университет, 2011. – 112 с.

Учебное пособие предназначено для студентов II курса механико-матема- тического факультета КФУ.

⃝
^c Казанский федеральный
университет, 2011
⃝^c Киясов С.Н., Шурыгин В.В., 2011
Часть 1


Дифференциальные уравнения первого порядка


Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
, (0.1)
в котором — независимая переменная, — неизвестная функция. Диф- ференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется уравнение

Правую часть уравнения (0.2) будем считать определенной на некотором от- крытом множестве плоскости . Иногда уравнение (0.2) записывают в виде
(0.3)
и называют уравнением первого порядка, записанным в дифференциалах.
Решением уравнения (0.2) (или (0.3)) на интервале оси называется любая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на . Общим решением уравнения (0.2) называется множество всех его решений. Общее решение зависит от одной произвольной постоянной и дается формулой
(0.4)
Выражение вида
, (0.5)
из которого y определяется неявно как функция от x называется общим интегралом уравнения (0.2).
Решить уравнение (0.2) означает найти его общее решение или общий ин- теграл. При этом предпочтение, как правило, отдается более компактной за- писи ответа.
Формы записи уравнения в виде (0.2) или (0.3) равносильны и из одной записи можно получить другую. Однако, в некоторых случаях, форма запи- си (0.3) оказывается предпочтительнее, так как в нее переменные и входят симметрично. Поэтому, если независимую переменную и искомую функ- цию поменять местами (разрешить уравнение относительно ), то общее решение полученного уравнения определит общий интеграл уравнения (0.2).

Рассмотрим следующую задачу: найти решение уравнения (0.2), удовле- творяющее условию


, где . (0.6)

∈
Условие (0.6) называется начальным условием, а сама поставленная зада- ча — задачей Коши. Любое решение уравнения (0.2) определя- ет на множестве D некоторую кривую, которую называют интегральной кривой уравнения. Поэтому, геометрический смысл задачи Коши состоит в том, чтобы найти интегральную кривую уравнения, проходящую через точку . Чтобы решить задачу Коши, нужно подставить начальное усло- вие (0.6) в (0.4) или (0.5) и определить оттуда значение , при котором точка лежит на искомой интегральной кривой. Тогда решение задачи Коши запишется в виде
или