Методы решения

Р ешение.

Изобразим на рисунке эскиз графика функции y(x) и проведем в какой-либо его точке (x₀, y₀) касательную прямую. Отметим точки A и B ее пере- сечения с осями координат. Условие задачи означает, что точка касания делит отрезок AB пополам. Очевидно, это равносильно тому, что абсцисса x_A точки A по абсолютной величине вдвое больше абсолютной величины абсциссы x₀ . Чтобы составить дифференциальное уравнение кривой, нам необходимо определить x_A .
Запишем уравнение касательной
.

к кривой в точке . Подставив , получим . Учитывая геометрический смысл производной (тангенс угла наклона касательной

к кривой с положительным направлением оси абсцисс), находим, что в соот- ветствующих квадрантах значения x₀ , y₀ , y^′(x₀) имеют следующие знаки: в первом квадранте x₀ > 0, y₀ > 0, y^′(x₀) < 0; во втором квадранте x₀ < 0, y₀ > 0, y^′(x₀) > 0; в третьем квадранте x₀ < 0, y₀ < 0, y^′(x₀) < 0; в чет вертом квадранте x₀ > 0, y₀ < 0, y^′(x₀) > 0. Следовательно, для искомой

кривой должно выполняться равенство или
Учитывая, что точка (x₀, y₀) — произвольная, дифференциальное уравнение этой кривой имеет вид
или
Решением этого уравнения служат функции
В частности, чтобы найти ту кривую, которая проходит через точку (2, 3),
подставим эти числа в уравнение кривой и найдем C = 6.
Ответ: y = 6/x.