Методы решения

Пример 2. Решим уравнение
. (1.5)
Решение. Разделяем переменные:

При этом мы делим на и , поэтому необходимо отдельно рассмот- реть случаи и . Подставив в уравнение (1.5) сначала , а потом , убеждаемся, что обе эти функции являются решениями.

Интегрируя, получим:

Следовательно, общий интеграл уравнения (1.5) можно записать так:

Если постоянную C взять в виде , то общий интеграл запишется следующим образом:

В этой форме записи решение содержится при . Поэтому к
общему интегралу такого вида следует добавить лишь решение .
Если же постоянную взять в виде - и переписать общий интеграл в виде , то, наоборот, решение получится при
Пример 3. Решим уравнение
Решение. Перепишем его в виде

Разделив переменные, получим
откуда
Проинтегрируем:

Заменяя на и потенцируя, получим окончательно

Кроме того, мы должны исследовать случаи и Первый случай дает функции и являющиеся решениями исходного уравнения, а второй — функции , которые уравнению не удовлетворяют. Так как содержится в общем интеграле при , то к нему следует добавить лишь решение .

2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

К таким уравнениям относятся уравнения вида

Сделав в таком уравнении замену получим уравнение с