Методы решения

§3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним

1. Однородные уравнения

Функция двух переменных f (x, y) называется однородной степени m (еще говорят, с показателем однородности m), если для всех t (или хотя бы для t>0) справедливо соотношение
f (tx, ty) = t^mf (x, y). (3.1)
Так, функции , , являются однородными функциями степеней 1, 4 и 3/2, соответственно (проверьте это!). Функция не является однородной.
Дифференциальное уравнение
(3.2)
называется однородным, если M (x, y) и N (x, y) — однородные функции одной и той же степени m. Можно показать, что однородное уравнение может также быть записано в виде
(3.3)
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле
(3.4)
Тогда производная y’ и дифференциал dy заменяются по формулам

После решения полученного уравнения нужно сделать обратную подстановку

Пример 1. Решим уравнение
(3.5)
Решение.

Уравнение имеет вид (3.3). Делаем замену y = tx. Тогда урав-

нение (3.5) запишется в виде откуда Разделив
переменные, получим

Преобразовывая дробь в левой части последнего уравнения, запишем

Тогда
или .

Взяв постоянную C в виде , получим

Подставив t = y/x, получим окончательно
или

Кроме того, в процессе решения мы делили на x, t и . Нетрудно видеть, что x = 0 не является решением исходного уравнения, а и

являются решениями уравнения
Следовательно, исходное

уравнение (3.5) имеет еще решения y = 0 и .Заметим, что решения входят в серию решений (они получаются при C = 0), а решение не содержится в этой серии (но получается при из первой формы записи общего решения).
Подставив , получим решение задачи Коши: .