O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat pedagogika instituti matematika va uni o’qitish metodikasi kafedrasi algebra va sonlar nazariyasi fanidan mustaqil ta’lim topshiriqlari to’plami

1.Quyidagi funktsiyalarning aniqlanish sohasini toping:

11) ;

12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) .


2. Quyidagi funksiyalarning o’zgarish sohasini toping:
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
28) ;
29) .
30) ;
Mavzu: Binar munosabatlar va ularning xossalari.
1.Ixtiyoriy A to‘plam berilgan bo‘lsin to‘plamning ixtiyoriy R qism to‘plami to‘plamdagi binar munosabat deyiladi . Agar (x,u) R bo‘lsa x va u elementlar R binar munosabatda deyiladi va xRu kabi yoziladi.
Demak, binar munosabatlar bu ikki ob’ekt orasidagi munosabatdir. Binar munosabatlar bilan birga unar, ternar va umuman -nar munosabatlar ham o‘rganiladi. Unar munosabat bu bitta ob’ektning xossasini ifodalaydi, ternar munosabat bu uchta ob’ekt orasidagi nar munosabat esa ta ob’ekt orasidagi munosabatdir.
Misollar. 1).Haqiqiy sonlar to‘plamidagi x va u sonlarning tengligi munosabati binar munosabat bo‘ladi. Bu munosabat tekislikdagi to‘g‘ri chiziq nuqtalari bilan beriladi.
2). to‘plamdagi munosabat binar bo‘lib u tekislikdagi to‘g‘ri chiziqdan tashqarisidagi nuktalar bilan beriladi.
3). da soning sonidan katta ekanligi da to‘g‘ri chiziqdan yuqorida yotgan nuqtalar to‘plami uchun bajariladi (rost).
4). To‘plamlarning tenglik , teng emaslik , qism to‘plam bo‘lishlik munosabatlari ham binar munosabatga misol bo‘ladi.
5). Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik munosabati munosabatlari ham binar munosabatga misol bo‘ladi.
6). Bir tenglamalar sistemasining ikkinchi sistemaning natijasi bo‘lishlik munosabati va bir tenglamalar sistemasining ikkinchisiga teng kuchli (ekvivalent) bo‘lish munosabatlari ham binar munosabatga misol bo‘ladi.
2.Xossalari:
1⁰. Agar uchun rost bo‘lsa, bunday munosabatga to‘plamdagi refleksiv munosabat deyiladi.
Agarda munosabat o‘rinli bo‘lmagan mavjud bo‘lsa, ya’ni dagi ba’zi uchun o‘rinli, ba’zilari uchun o‘rinli bo‘lmasa ga reflektiv bo‘lmagan munosabat deyiladi.
2⁰. Agar munosabatning o‘rinli ekanligidan ning ham o‘rinli ekanligi kelib chiqsa binar munosabatga simmetrik munosabat deyiladi. o‘rinli bo‘lgan lar uchun o‘rinli bo‘lmasa, antisimmetrik munosabat deyiladi (ya’ni va kelib chiqsa). Agarda va munosabatlar hattoki bo‘lganda ham bajarilmasa, bunday munosabatga asimmetrik munosabat deb ataladi.
3⁰. Agarda to‘plamdagi elementlar uchun va larning rost ekanligidan ning rost ekanligi kelib chiqsa bunday munosabatga to‘plamdagi tranzitiv munosabat deyiladi.
to‘plamdagi reflektiv, simmetrik va tranzitiv munosabatga shu to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi.
Misollar.
1. Haqiqiy sonlar to‘plamidagi tenglik munosabati.
2. To‘plamlarning tengligi munosabati.
3. Tenglamalar sistemasidagi teng kuchlilik munosabati.
4. Funksiyalarning tengligi munosabati.
5. to‘plamda o‘zgartirishlar guruhi berilgan bo‘lsin. Agar to‘plamning elementlari uchun tenglikni qanoatlantiruvchi bi’ektiv akslantirish mavjud bo‘lsa, bu va elementlarni ekvivalent deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bu ekvivalentlik munosabati ham ekvivalentlik munosabati bo‘ladi. Chunki va uchun ya’ni (refleksiv). Agarda bo‘lsa bo‘ladt, chunki bi’eksiya bo‘lgani uchun ning teskarisi ham mavjud va bo‘ladi(simmetriklik).Shuningdek agar va bo‘lsa, u holda bajariladi dan
yoki deb belgilab olsak bajariladi. Demak ekvivalentlik munosabat bo‘ladi.
to‘plam biror usul bilan sinflarga bo‘lingan bo‘lsin: bu bo‘linma yordamida to‘plamda ekvivalentlik munosabatini ko‘rsatamiz. Agar elementlar bo‘linmadagi bir sinfga tegishli bo‘lsa, ularni bo‘linmaga nisbatan ekvivalent deymiz va shaklda yozamiz. Bu ekvivalentlik refleksiv, simmetriklik va tranzitivlik shartlarini qanoatlantiradi.
Ixtiyoriy to‘plamda har qanday ekvivalentlik munosabatini shunday hosil qilishimiz mumkinligini ko‘rsatamiz. to‘plamda biror ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsin. uchun da ekvivalent bo‘lgan barcha elementlar to‘plamini bilan belgilaymiz. Endi olib elementlarni sinfga ko‘rsatamiz. U holda Ø. Endi ni olib shu jarayonni davom ettiramiz. Buning natijasida chekli yoki cheksiz sondagi o‘zaro kesishmaydigan sinflarga ega bo‘lamiz va tenglik o‘rinli bo‘ladi.Shunday qilib to‘plamni sinflarga bo‘lish va ekvivalentlik munosabatlari orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud.
to‘plamga faktor to‘plam deyiladi. to‘plamda biror ekvivalentlik munosabati berilgan va esa biror to‘plam bo‘lsin. ni qaraymiz. Agar to‘plamning elementlarining biror xossasi uchun dagi kelib chiqsa, bunday aks ettirish invariant deyiladi.
Xususiy holda, agar to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati to‘plamdagi biror o‘zgartirishlar guruhi hosil qilgan ekvivalentlik bo‘lsa, invariant aks ettirish ga quyidagicha ta’rif beriladi. Agar va uchun tenglik o‘rinli bo‘lsa, bunday aks ettirishga invariant aks ettirish deyiladi.
invariant aks ettirishning quyidagi xossasi muhimdir. Agar lar uchun bo‘lsa, ular ekvivalentlik bo‘lmaydi. Shunday qilib invariantlarni ekvivalent sinflarni farq qilish vositasi sifatida muhimdir. Agar invariantlar tizimi quyidagi shartni qanoatlantirsa unga to‘la deyiladi: har qanday ekvivalent bo‘lmagan elementlar uchun shunday invariant mavjud bo‘lsaki, munosabat bajariladi.