O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat pedagogika instituti matematika va uni o’qitish metodikasi kafedrasi algebra va sonlar nazariyasi fanidan mustaqil ta’lim topshiriqlari to’plami

Mavzu .To’plamlar va ular ustida amallar .Cheksiz to’plamlar ustida amallar.
To‘plam tushunchasi matematikaning boshlang‘ich tushunchalark bo‘lib, u ta’rifsiz qabul qilinadi. To‘plamni tashkil qiluvchi obyektlar uning elementlari deyiladi. To‘plamlarni A,B,C,...,X,Y,Z,... harflari bilan, uning elementlarini esa a,b,s„..x,u,z,.,. harflari bilan belgilanadi. Biror a ob’ekt A to‘plamning elementi ekanligi A to‘plamga tegishli ekanligi, quyidagicha yoziladi: aA va " a element A to‘plamga tegishli", " aA ning elementi" deb o‘qiladi. Agar a ob’ekt A to‘plamga tegishli bo‘lmasa, uni simvolik ravishda aA ko‘rinishda yoziladi.
Birorta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plamni bo‘sh to‘plam deyiladi va uni  kabi belgilanadi.
Agar A to‘plamning hamma elementlari B to‘plamga tegishli bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamning qism to‘plami deyiladi. Buni AB (yoki BA) kabi yoziladi va "A to‘plam B to‘plamning qism to‘plami" deb o‘qiladi.
Agar bir paytning o‘zida AB va BA bo‘lsa, A va B to‘plamlar teng deyiladi va A=B ko‘rinishda yoziladi. Bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy A to‘plam kamida ikkita qism to‘plamga ega: bo‘sh to‘plam  va A to‘plamning o‘zi, ya’ni AA, A. Agar berilgan A to‘plam elementlari biror r(x) xossaga ega bo‘lsa, u to‘plamni A={x: p(x)} yoki A={x|p(x)> ko‘rinishda yozamiz. Bu holda r(x) xossa to‘plamning xarakteristik xossasi deyiladi.
Masalan: 1) [a,b]={x: a≤x≤b}, (a,b)={x: a(a,b]={x: a2) arap A hamma juft natural sonlarning to‘plami bo‘lsa, u holda A={x:x=2k,kN} bo‘ladi.
1. A va B to‘plamlardan aqalli bittasiga tegishli bo‘lgan elementlarning C to‘plamini A va B to‘plamlarning yig‘indisi (birlashmasi) deyiladi va C=AB (yoki C=A+B) ko‘rinishda belgilanadi. A va B larni qo‘shiluvchi to‘plamlar. C ni yig‘indi to‘plam deyiladi.
{A_}_j to‘plamlarning to‘plami "to‘plamlar sistemasi" deyiladi, bu erda 3— ixtiyoriy tabiatli a elementlarning qandaydir bo‘sh bo‘lmagan to‘plami.o‘shiluvchilar soni ikkitadan ko‘p bo‘lganda ham to‘plamlarni qo‘shishning yuqoridagi ta’rifi o‘z kuchida qoladi, ya’ni {A_}_j to‘plamlar sistemasiga kiruvchi to‘plamlarning yig‘indisi deb, sistemadagi to‘plamlardan aqalli bittasiga tegishli bo‘lgan elementlarning C to‘plamiga aytiladi va yoki ko‘rinishda belgilanadi.
Arap {A_}_J ={A₁A₂, ..., A_n} bo‘lsa, yig‘indi to‘plamni yoki ko‘rinishda, agar {A_}_J={A₁A₂, ..., A_n …}ko‘rinishda bo‘lsa, yoki ko‘rinishda belgilanadi.
2. Bir vaqtda ham A to‘plamga, ham B to‘plamga tegishli bo‘lgan elementlarning C to‘plamini A va B to‘plamlarning ko‘paytmasi (kesishmasi) deyiladi va C=AB (yoki C=A·B) ko‘rinishda belgilanadi. A va B larni ko‘paytuvchi to‘plamlar, C ni ko‘paytma (kesishma) to‘plam deyiladi. To‘plamlar ko‘paytmasining bu ta’rifi ko‘paytuvchilarning soni ikkitadan ko‘p bo‘lganda ham o‘rinli, ya’ni {A_}_J sistemaga kiruvchi hamma A_(J) to‘plamlarning har biriga bir vaqtda tegishli elementlarning C to‘plamni {A_}_Jto‘plamlarning ko‘paytmasi deyiladi va yoki ko‘rinishda belgilanadi. {A_}_Jsistema {A₁, A₂, ...A_n} (yoki {A₁, A₂, ...A_n, …}) ko‘rinishga ega bo‘lsa, uchun sistemaga kiruvchi to‘plamlarning ko‘paytmasini ko‘rinishda belgilanadi.
A₁, A₂, ..., A_n to‘plamlarning to‘g‘ri yoki dekart ko‘paytmasi deb ₁,a₂,...,a_n>ko‘rinishdagi hamma tartiblashgan n liklarning to‘plamini aytiladi va bu to‘g‘ri yoki Dekart ko‘paytmani A₁xA₂x ... xA_nko‘rinishda belgilanadi, ya’ni A₁xA₂x ...xA_n= {2,...,a_n>:a_iA_i- ixtiyoriy element, i=1 ,2,..., n}, n ixtiyoriy natural soni
Agar 1,a_g,.-.,a_n,> va 1 b₂...,b_n>A₁x A₂x ... xA_n to‘g‘ri ko‘paytmaning ixtiyoriy ikkita elementlari bo‘lib, a_i=b_i i=1,2,…n bo‘lsa, 1,a₂,...,a_n> va 1,b₂,...,b_n>n liklarni teng deyiladi va 2, ...,a_n>= 1,b₂,...,b_n>ko‘rinishda belgilanadi.
Xususiy holda A₁=A₂=...=A_n=A bo‘lsa, A₁ x A₂ x ... x A_n to‘g‘ri ko‘paytmani A ko‘rinishda yozishga shartlashamiz:
Aⁿ =AxAx ...xA
A²=AxA to‘plamni A to‘plamning Dekart kvadrati deyiladi.
Misol. A= {1,2,3}, B={ a,b} berilgan bo‘lsa, AxB, BxA, AxA, BxB larni toping: AxB={,<2;a>;<3;a>,, <2;b>, <3;b>};
BxA={,,,,,};
AxA={<1;1>,<1;2>,<1;3>,<2;1>,}<2;2>,<2;3>,<3;1>,<3;2>,<3;3>}
BxB={,,,}
Misol. A=[1;3], B=[2;4] lar berilgan bo‘lsa, AxB, BxA larni toping:
AxB=[1;3] x[2;4]={:1a3,2b4} ;
BxA=[2;4] x [1;3] = {:2a4, 1b3}.
AxB to‘plam elementlarini birinchi koordinatalarini (A ning elementlarini) Ox o‘qida, ikkinchi koordinatalarini (B ning elementlarini) Oyo‘qida tasvirlaymiz. Bu nuqtalardan, mos ravishda, Ox, Oyo‘qlarga perpendikulyar chiqaramiz. Bu perpendikulyarning kesishish nuqtalarini koordinatalari AxB to‘plamning elementlaridan ibarat. Koordinatalari AxB ning elementlari (sonlar jufti) ga teng bo‘lgan barcha nuqtalar to‘plami. AxB to‘plamning geometrik tasviri deyiladi. 1-misolda keltirilgan AxB, BxA, AxA to‘plamlarning geometrik tasviri 1.3-chizmada, 2-misolda keltirilgan AxB, BxA to‘plamlarning geometri tasviri 1.4-chizmada tasvirlangan.

AB

24 x



13 x