O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi termiz muhandislik-texnologiya instituti

3-МАВЗУ. БОШ ИНЕРЦИЯ ЎҚЛАРИ ВА БОШ ИНЕРЦИЯ МОМЕНТЛАРИ
РЕЖА

1. 
   Бош инерция инерция моментлари
   
2. 
   Мураккаб текис кесимлар бош марказий ўқларининг ҳолатини ва бош марказий инерция моментларини аниқлашю
   
3. 
   Мавзуга оид масалалар ечиш.
   

Ўқларга нисбатан топилган инерция моментларни (3.24), (3.25) қўшсак, у ҳолда

ёки
(3.27)
бўлиб, ўқларга нисбатан инерция моментлар йиғиндиси бурчакка боғлиқ бўлмай, у ўзгармасдан қолар экан. Аммо уларнинг ҳар бири алоҳида ўзгариши мумкин. Бундан қуйидагича хулоса қилиш мумкин: ўқларни бурчакка буриб шундай ҳолатни аниқлаш мумкинки, унда ўққа нисбатан инерция моментларидан бири энг катта, иккинчиси эса энг кичик қийматга эга бўлади. Бу инерция моментлар бош инерция моментлар дейилиб, улар аниқланган ўқлар эса бош инерция ўқлари деб аталади (3.16 расм). Агар бош ўқлар текис кесимнинг оғирлик маркази орқали ўтса, у ҳолда инерция моментлар – бош марказий инерция моментлар, ўқлар эса бош марказий ўқлар дейилади.
Бош ўқларнинг ҳолатини, яъни х₂, у₂ ўқлари бош ўқлар билан устма-уст тушадиган ₀ бурчакни аниқлаш учун (3.24) ёки (3.25) лардан бирортасини _{бурчак функцияси деб қараб, биринчи тартибли ҳосиласини олсак, у ҳолда}

ҳосил бўлади.
Бу ифодаларни соддалаштириб, унинг қийматини нолга тенгласак
(3.28)
бўлади.
Бу натижа (3.28) ни (3.26) билан ₀ бўлганда солиштирсак

бўлиб,

келиб чиқади.
Бундан кўринадики, бош ўқларга нисбатан марказдан қочма инерция момент нолга тенг бўлиб, аксинча марказдан қочирма инерция момент нолга тенг бўлган ўқлар бош инерция ўқлари бўлар экан.
Демак, ихтиёрий иккита ўзаро тик ўқлардан бири кесимнинг симметрия ўқи бўлса, у ўқ бош ўқлардан бири бўлиб, кесимнинг оғирлик маркази орқали ўтувчи симметрия ўқи эса бош марказий ўқ бўлади.
Энди (3.28) дан ₀ бурчакни топсак у
бўлади. (3.29)
Бу ерда _, х₁, у₁ ўқларини бош ўқлар билан устма-уст тушиши учун буриш керак бўлган бурчакни ифодалайди. Келгусида _{ни 0} орқали белгилаймиз. Агар ₀ бурчак мусбат бўлса, у ҳолда х₁у₁ ўқларини соат стрелкасига қарши йўналишда буриш керак бўлади.
Бош инерция ўқларининг бири максимум ўқи (унга нисбатан олинган инерция моментининг қиймати энг катта бўлади), иккинчиси эса минимум (унга нисбатан олинган инерция моментнинг қиймати энг кичик бўлади) ўқидир.
Максимум ўқи доимо (х₁ ёки у₁) ўққа нисбатан олинган инерция моментларнинг катта қиймати билан кичик бурчак ташкил этади. Ушбу ҳолат бош инерция ўқларидан қайси бири максимум, қайсиниси минимум эканлигини аниқлашга ёрдам беради.
Масалан, агар J_y › J_x бўлиб, U ва V бош инерция ўқлари бўлса (3.16-расм), у ҳолда U ўқи максимум ўқи V ўқи эса – минимум ўқи бўлади (чунки «у» билан «U» орасидаги бурчак , «х» билан «U» орасидаги  бурчакдан кичик).
Бош инерция моментларининг қийматларини, (яъни инерция моментларининг энг катта ва энг кичик қийматларини) топиш учун  бурчакка нисбатан (3.24) ва (3.25) дан биринчи тартибли ҳосила олиб уни нолга тенглаймиз:
(3.30)
Олинган натижадан бурчакни йўқотсак, у ҳолда J_max ва J_min қийматларини топиш учун қуйидаги формула ҳосил бўлади.
(3.31)
Бу ерда (+) ишора олинса J_max, (-) ишора олинса J_min топилади.
Текис кесим текислигининг ихтиёрий нуқтасидан унга мос равишда бош инерция ўқларини ўтказиш мумкин. Аммо конструкция элементларини ҳисоблашда фақат кесим оғирлик марказидан ўтувчи бош ўқлар, яъни бош марказий инерция ўқлари амалий аҳамиятга эга бўлади. Шунинг учун келгусида бош марказий инерция моментларни J_max ва J_min орқали ифодалаймиз.
Бош инерция моментларига тегишли бўлган бир нечта хусусий ҳолларни кўрамиз.
1. Агар J_x= J_y ва J_yx = 0 бўлса, у ҳолда координата системасини ихтиёрий буриш орқали ҳосил бўлган ўқлар бош инерция ўқлари бўлиб, бу ҳолда
J_x = J_y = J_max = J_min = const бўлади.
2. Иккитадан ортиқ симметрия ўқига эга бўлган кесимлар учун марказий ўқларга нисбатан олинган инерция моментлар ўзаро тенг бўлади.
Бундай кесимларга тенг томонли учбурчак, квадрат, ихтиёрий мунтазам кўпбурчак, доира ва бошқа текис кесимлар мисол бўлиши мумкин.
3. Агар


Бу ҳолда бош ўқлар инерция моментлари аниқланган ху ўқларига нисбатан 450 бурилган бўлади.