Предел Понятие δ- окрестности заданной точки

Свойства эквивалентных функций.


Теорема. Пусть и бесконечно малые функции при , тогда:

1. 
   ;
   
2. 
   
   

Доказательство.

1.)
а.)

при
б.)


при






Примеры:


Определить порядок бесконечно малой функции по сравнению с бесконечно малой при
Составим предел:

Возможны 3 случая:
а.) тогда бесконечно малая порядка по сравнению с бесконечно малой ;
б.) тогда бесконечно малая низшего порядка по сравнению с бесконечно малой ;
в.) тогда бесконечно малая высшего порядка по сравнению с бесконечно малой ;


Основные теоремы о непрерывных функциях.


Теорема1.”Об ограничении функции”(Вейерштрасс).
Если непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
выполняется неравенство
Теорема2.”О наибольшем и наименьшем значениях функции на отрезке”(Вейерштрасс).
Если непрерывна на отрезке , то она достигает свои наибольшие и наименьшие значения на этом отрезке.


Теорема3.”О форме непрерывных функций”(Больцано - Коши).
Если непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков( , тогда



Понятие равномерно непрерывной функции.




Определение. Функция равномерно непрерывной на отрезке , если
выполняется неравенство



Теорема Кантора.
Если функция непрерывна на отрезке , то она является равномерно непрерывной на отрезке
Пример:
, где постоянная.
Доказать, что она равномерно непрерывная на всей числовой оси.
выполняется неравенство

Рассмотрим неравенство: