Предел Понятие δ- окрестности заданной точки

Единственность предела.


Теорема. Если в точке имеет конечный предел , то данный предел является единственным.


Доказательство.

Предполагаем, что есть 2 предела ( );

Пусть


выполняется неравенство ;
;
;
;
выполняется неравенство ;
;
;
;
Пусть ;
выполняется неравенство ;
Получили противоречие: , а по условию значит ;
По теореме о предельном переходе в неравенстве: ;



Односторонние пределы.


Односторонние пределы – это предел “слева” и предел “справа”.
1.)Предел “слева”;
– точка сгущения для ;
;


2.)Предел “справа”.


Функция имеет конечный предел , при , тогда и только тогда, когда она имеет предел “слева” и предел “справа” и они равны

Пример:
1.)





Теорема о промежуточной переменной.

Пусть выполняется неравенство

Пусть , , тогда .


Доказательство.


выполняется неравенство

выполняется неравенство


выполняется неравенство
, определение предела выполнено( выполняется неравенство ) .


1 замечательный предел.



;
;
;
;


;
< x< ; | ∙


;

Найдём предел :

;
По теореме о промежуточной переменной:
а.)

б.)