Предел Понятие δ- окрестности заданной точки

Неопределённости.









Примеры на раскрытие неопределённостей:



;















2 замечательный предел.

1.) где – натуральное число (Л.Эйлер(1707-1783));

2.) ;
3.) .
Пример:



Вычисление замечательного предела.





;

Если функция непрерывна, то



Основное логарифмическое тождество:


бесконечно малая функция.
Примеры:







Пределы, получаемые с помощью 2 замечательного предела.

Пример:

2.)
Частный случай:
Пример:

3.)
Пример:



Непрерывность функций.

Пусть , ;

Определение 1.Функция называется непрерывной в точке , если значение функции в этой точке совпадает со значением предела в этой точке.

Пример:


– условие непрерывности через односторонний предел. Если это условие нарушено, то функция имеет точки разрыва 2 рода.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

;

Покажем, что из первого определения следует второе:

По лемме о функции, имеющей конечный предел:



Пример:
1.)Проверим, что и являются непрерывными на всей числовой оси.



Для аналогично.