Предел Понятие δ- окрестности заданной точки

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.


Теорема.
1.)Пусть функция – бесконечно малая при и в достаточно малой окрестности точки , тогда бесконечно большая при ;
2.)Пусть – бесконечно большая при , тогда бесконечно малая при .


Доказательство.

(1). – бесконечно малая при ;

выполняется неравенство
;
;
;

выполняется неравенство >
Для функции выполняется определение бесконечно большой функции (по любому находится ) при .
(2). – бесконечно большая при ;

выполняется неравенство



выполняется неравенство
Для функции выполняется определение бесконечно малой функции (по любому находится ) при
Пример:

бесконечно большая при


Предельный переход в неравенстве.


Теорема. Пусть выполняется неравенство , при этом каждая из функций имеет конечный предел:
, , тогда .


Доказательство.

Предположим, что

выполняется неравенство
;
;

выполняется неравенство ;
;
;
;
Пусть
выполняется неравенство ;
Получили противоречие: , а по условию .
Наше предположение неверно, значит .
Примеры:
1.) , +1, ;



2.) , , ,

;