Предел Понятие δ- окрестности заданной точки

Основная теорема о пределах.
Лемма о функции, имеющей конечный предел.
Лемма. Функция имеет конечный предел при тогда и только тогда, когда в окрестности точки эту функцию можно представить в виде при , где – бесконечно малая функция при .

По определению предела:
выполняется неравенство

Пусть , тогда
Переписав определение для мы получим, что – бесконечно малая функция:
выполняется неравенство

выполняется неравенство
Пример:
1.) – бесконечно малая функция при
выполняется неравенство




Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .
2.) – бесконечно малая функция при
выполняется неравенство





Определение бесконечно малой функции выполнено(по любому находится ), поэтому - бесконечно малая функция при .


Основная теорема о пределах.


Теорема. Пусть даны две функции и и при обе имеют конечный предел, то есть , , тогда:
1.) ;
2.) ;
3.) , при ;
4.) , где – постоянная


Доказательство.

По лемме о функции, имеющей конечный предел:

1.) при
-конечное число, -бесконечно малая функция при .
По выше указанной лемме, применённой в обратную сторону, это означает, что , что и требовалось доказать.
2.)
- конечное число, - бесконечно малые функции при
По выше указанной лемме, применённой в обратную сторону, это означает, что
, что и требовалось доказать.
3.)
;
Докажем, что функция ограниченная функция при
выполняется неравенство



Определение ограниченной функции при выполнено, значит - ограниченная функция при .
– ограниченная функция при
- бесконечно малые функции при , ограниченная функция при , значит бесконечно малая функция при
По выше указанной лемме, применённой в обратную сторону, получаем, что
= .
4.) ;

выполняется неравенство
По выше указанной лемме, применённой в обратную сторону, получаем, что .
Пример: