Reja: Monoton uzluksiz funksiyalar

Teorema 1.4 Chapdan uzluksiz monoton funksiya va chapdan uzluksiz bo`lgan sakrash funksiyasining yig`indisi sifatida yozish mumkin.
Isbot. Aytaylik, chapdan uzluksiz monoton funksiya bo`lsin. Bu funksiyaning uzilish nuqtalarini orqali va bu nuqtalarga mos kelgan funksiyaning sakrashlarini orqali belgilaymiz, orqali quyidagi funksiyani brlgilaymiz:

tenglik bilan aniqlangan funksiya ekanligini ko`rsatsak, teorema isbotlangan bo`ladi. Dastlab funksiyaning kamaymaydigan funksiya ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun deb olib,

Ayirmani qarasak, u holda bu tenglikning o`ng tomonida funksiyaning oraliqdagi to`la orttirmasi bilan, uning shu oraliqdagi sakrashlari yig`indisining farqi turganligini ko`ramiz funksiya monoton bo`lganligi uchun bu ayirmaning manfiy emasligi ravshan. Demak, kamaymaydigan funksiya ekan. Endi ning uzluksizligini ko`rsatamiz. Buning uchun nuqtani ixtiyoriy tanlab, quyidagi tengsizliklarni yozishimiz mumkin:
,

Bundan

Tenglikni olamiz. Bu yerda soni funksiyaning nuqtadagi sakrashi. Bu tenglikdan, va funksiyalarrning chapdan uzluksizligidan, hamda nuqtaning ixtiyoriyligidan funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi.

2-§ Monoton funksiyaning hosilasi
Ma`lumki, funksiyaning hosilasi

Mavjud bo`lishi yoki bo`lmasligi mumkin. Lekin quyidagi to`rt ifodaning har biri aniq bir ma`noga ega bo`lib yoki chekli qiymatga yoki ga yoki ga teng:
,

sonlar f ning x nuqtadagi hosila sonlari deyiladi.

Agar bo`lsa, u holda funksiya o`ng (mos ravishda chap) hosilaga ega deyiladi va bu hosilalar (mos ravishda ) bilan belgilanadi.
Tabiiyki, funksiyaning hosilasi mavjud bo`lishi uchun yuqoridagi to`rtta hosila sonlarning bir-biriga teng bo`lishi zarur va kifoyadir.
Misollar: 1) funksiya nuqtada turli o`ng va chap hosilalarga ega.
Haqiqatan




2)
Funksiya uchun nuqtada:
, , ,
Haqiqatan
,
Chunki funksiyaning eng kichik qiymati -1 ga teng.
Xuddi shuningdek,
;