Reja: Monoton uzluksiz funksiyalar

3.1-teorema. segmentda o`zgarishi chegaralangan ikki va funksiyaning yig`indisi, ayirmasi va ko`paytmasi ham o`zgarishi chegaralangan funksiyalar bo`ladi.
Isbot. Darhaqiqat, segmentni ixtiyoriy n qismga bo`lib

tengsizlikni yozishimiz mumkin; bu yerda . Bundan
,
ya`ni funksiyaning o`zgarishi chegaralanganligi bevosita kelib chiqadi.
Ayirma uchun ham teorema shunga o`xshash isbotlanadi.
Endi va funksiyalarning ko`paytmasini olamiz:
=
, bo`lsin va funksiyalar o`zgarishi chegaralangan bo`lgani sababli chegaralangandir. Shuning uchun p va q sonli chekli. Bu holda
.
Bundan
+p
(3.2) ya`ni funksiyaning o`zgarishi chegaralangan.
3.2-teorema. Agar bo`lsa, u holda

Isbot. Agar c nuqta bo`lish nuqtalaridan biriga teng, masalan bo`lsa u holda
(3.3)
tenglik o`rinli bo`ladi segmentni ixtiyoriy mayday qismlarga bo`lish hisobiga bu tenglikning o`ng tamondagi yig`indisi + songa istagancha yaqin qilish mumkin. Shuning uchun
+ (3.4) munosabatlarni yozishimiz mumkin.
Ikkinchi tamondan, ixtiyoriy qismlarga bo`lingan segmentni olib, qo`shimcha c bo`lish nuqtasini kiritilsa, (1) tengsizlikning chap tamoni ortishigina mumkin. Shuning uchun c bo`lish nuqtasimi yoki bo`lish nuqtasini emasmi, baribir, (3) ga muvofiq quyidagi tengsizlik o`rinli:
+
Bu tengliksiz chap tamonining yuqori chegarasi olinsa
+ (3.5) tengsizlik kelib chiqadi.
(3.4) va (3.5) munosabatlarda (3.2) tenglik kelib chiqadi.
3- teorema. segmentda o`zgarishi chegaralangan har qanday funksiya ikki monoton o`suvchi funksiyaning ayirmasi sifatida yoziladi.
Isbot. = , = -
Funksiyalarning kiritib, ularning har birining monoton o`suvchiligi ko`rsatisa, teorema isbot etilgan bo`ladi.
3.2 – teoremaga muvofiq, agar bo`lsa
- =
y -monoton o`suvchi funksiya. funksiya ham monoton o`suvchi Darhaqiqat bo`lsin. U holda
= - - + = -[ - ] ,
chunki; *
So`ngi teoremaning mohiyati shundaki, buning yordami bilan o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning ba`zi xossalarini monoton o`suvchi funksiyalarning xossasidan keltirib chiqarish mumkin va aksincha. Masalan o`zgarishi chegaralangan funksiya biror nuqtada o`ngdan uzluksiz bo`lsa, u holda va funksiyalar ham shu nuqtada o`ngdan uzluksiz bo`ladi. Masalan, bu jumlani F(x) funksiya uchun isbot bo`ladi.
funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtada o`ngdan uzluksizligidan foydalanib, ixtiyoriy berilgan uchun shunday sonni topamizki, agar va bo`lsa
tengsizlikni yozishimiz mumkin.
Endi segmentni n ta qismga bo`lamizki, ular uchun quyidagi tengsizlik o`rinli bo`lsin:
,
nuqtani olishda tengsizlikka rioya qilishimiz kerak. U holda (6) ga muvofiq:

yoki (3.2)- teoremaga asosan

Bundan esa funksiyaning nuqtada o`ngdan uzluksizligi bevosita kelib chiqadi.
4-& O`ZGARISHI CHEGARALANGAN FUNKSIYANING ASOSIY XOSSALARI