Reja: Monoton uzluksiz funksiyalar

3.
Bu yerda ,
nuqtada:
, , ,
Haqiqatan
,
Chunki funksiyaning eng kichik qiymati 0 ga teng.
Xuddi shuningdek,
;

Bu misollar, haqiqatan ham hosila sonlarning turli bo`lishi mumkinligini ko`rsatadi.
Teorema 2.1 (Lebeq) segmentda aniqlangan ixtiyoriy monoton funksiya bu segmentning deyarli har bir nuqtasida chekli hosilaga ega.
Isbot: Avval teoremani segmentda uzluksiz moton funksiyalar uchun isbot etib, so`ngra shu segmentda uzluksiz moton funksiyalar uchun o`rinliligini ko`rsatamiz.
Bundan teoremaning ixtiyoriy segment uchun isbotli chiziqli almashtirish orqali kelib chiqadi.
Uzluksiz funksiyalarga oid quyidagi limmani isbot qilamiz: 46-1 – lemma (F.Riss). segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya berilgan bo`lsin. E to`plam segmentning shunday ichki x nuqtalaridan iborat bo`lsinki, bu nuqtalarning har biridan o`ngda
(2.1)
Munosabatni qanoatlantiradigan nuqta mavjud bo`lsin. U holda E ochiq to`plam bo`lib, uzuvchi oaraliqlarning har birida tengsizlik bajariladi.
Lemonning isboti. E ochiq to`plam, chunki va bo`lsin, u holda ning uzluksizligiga muvofiq ning biron atrofidan olingan x ning hamma qiymatlari uchun ham , tengsizliklar o`rinlicha qoladi. Agar, masalan, kamayishi funksiya bo`lsa, u holda E bo`sh to`lam bo`ladi.
Endi oraliq E to`plamni tuzuvchi oraliqdan olingan ixtiyoriy x nuqta uchun tengsizlikning o`rinliligi ko`rsatilsa, u holda x ni ga intiltirib, (1) tengsizlikni hosil qilamiz.
Darhaqiqat, nuqta x va nuqtalar orasida bo`lib (ya`ni ), tengsizlikni qanoatlantiradigan va ga eng yaqin nuqta bo`lsin.
U holda tenglikning o`rinliligini ko`rastamiz. Agar bunday bo`lmasa, E ning ta`rifiga ko`ra shunday nuqta mavjudki, uning uchun
(3)
Tengsizlik o`rinli; ikkinchi tomondan,
(4)
So`ngra (2), (3) va (4) tengsizlik ziddiyat hosil qiladi. Demak va yuqoridagi mulohazalaga ko`ra ya`ni lemma hisoblanadi.
46.3 – izoh (1) shartlarni qanoatlantiruvchi x nuqtani, qisqalik uchun, o`ngga ko`tarilish nuqtasi deyiladi.
Chapga ko`tarish nuqtasi ta`rifi ham shunga o`xshash beriladi: agar x nuqta uchun

Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqta topilsa, x chapga ko`tarilish nuqtani deyiladi. Yuqoridagiga o`xshash, chapga ko`tarilish nuqtalari to`plami ochiqligi hamda bu to`plamni tuzuvchi oraliqlarida munosabatlarning o`rinliligi ko`rsatiladi.
Endi monoton funksiyani segmentda uzluksiz deb teoremaning isbotiga o`tamiz. Masalan, kamaymaydigan bo`lsin.
Ushbu a) b)
Tengsizliklarning deyarli o`rinliligini faraz qilgan holda teoremani isbotlaymiz.
Darhaqiqat, kamaymaydigan funksiya bo`lgani sababli

Funksiya ham kamaymaydigan funksiyadir hamda:

Va

Demak, va yuqoridagi mulohazaga ko`ra , ya`ni lemma isbotlandi.
46.3 – izoh (1) shartlarni qanoatlantiruvchi x nuqtani, qisqalik uchun o`ngga ko`tarilish nuqtasi deyiladi. Chapga ko`tarilish nuqtasi ta`rifi ham shunga o`xshash beriladi: agar x nuqta uchun
,
Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqta topilsa, x chapga ko`tarilish nuqtasi deyiladi. Yuqoridagiga o`xshash, chapga ko`tarilish nuqtalari to`plami ochiqligi hamda bu to`plamni tuzuvchi oraliqda

Munosabatlarning o`rinliligi ko`rsatiladi.
Endi monoton funksiyani segmentda uzluksiz deb, teoremaning isbotiga o`tamiz. Masalan kamaymaydigan bo`lsin. Ushbu
a) ,
b)
tengsizliklarning deyarli o`rinliligini faraz qilgan holda teoremani isbotlaymiz.
Darhaqiqat, kamaymaydigan funksiya bo`lgani sababli

Funksiya ham kamaymaydigan funksiyadir hamda

va
.
Endi, b) tengsizlikni funksiyaga tatbiq qilinsa, quyidagi tengsizlikning deyarli bajarilishi kelib chuiqadi:
,
Ya`ni
.
, , va sonlarning ta`riflanishidan ushbu
va
Tengsizliklar bevosita kelib chiqadi.
Bulardan hamda a) va b) tengsizliklardan

Tengsizliklarning deyarli bajarilishi kelib chiqadi, bulardan esa chekli hosilaning deyarli mavjudligi aniq ko`rinib turibdi.
Teoremani to`la isbotlash uchun a) va b) tengsizliklarni isbotlash qoldi.
a) va b) tengsizliklarni isbotlash qoldi.
a) tengsizlikni isbot etmoq uchun

va

To`plamlarni kiritamiz; ekani ravshan. Agar bo`lsa, u holda shunday nuqta mavjudki, uning uchun
.
Bundan, agar deb olsak, u holda: . Demak, to`plam funksiya uchun yuqoridagi lemmada aniqlangan oraliqlarda joylashgan. Shu bilan birga, o`sha lemmaga asosan,

yoki

Tengsizliklar bajariladi. Bundan:

Bu tengsizliklardan ko`rinadiki, c yetarli katta bo`lganda oraliqlarning uzunliklari yig`indisi istagancha kichik qilinishi mumkin. Demak, to`plamning o`lchobi nolga teng, ya`ni a) munosabat deyarli o`rinli.
b) tengsizlik ham yuqoridagi mulohazalarni ketma-ket tadbiq qilish bilan isbot etiladi. Bu tensizlikka teskari bo`lgan

Tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to`plami ushbu

Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to`plami larning yig`indisiga teng; bunda c va C sonlar, munosabatni qanoatlantirgan holda, barcha ratsional qiymatlarni qabul qiladi, ya`ni
(2.5)
Bu yerda Q – ratsional sonlar to`plami. Ammo to`plam sanoqli bo`lgani uchun (2.5) yig`indi hadlarining soni sanoqli. Demak, agar lar har birining o`lchovi nol ekanligi ko`rsatilsa, to`plamning o`lchovi ham nolligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, teoremani isbotlash uchun to`plamning o`lchovi nol ekanligini ko`rsatish kifoya.
bo`lsin. U holda bolganligi uchun x dan chapda yotuvchi hamda
(2.6)
Tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqta mavjud. bo`lgani uchun (2.6) tengsizlikdan

Tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, x nuqta funksiyaning chapga ko`tarilish nuqtasi. Bu funksiyaga Riss lemmasini va uning tatbiq qilib, chapga ko`tarilish nuqtalaridan iborat bo`lgan ochiq to`plamning tuzuvchi oraliqlari uchun

Tengsizlikni, bundan esa
(2.7)
Tengsizlikni, hosil qilamiz.
Yuqorida olingan x nuqta topilgan oraliqlarning birida yetadi. Bu nuqtada

Bo`lgani uchun oraliqda
(2.8)
Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtani toppish mumkin. Keyingi yasashlarimizni oraliqlarningichida bajaramiz.
(2.8) tengsizliklar x nuqtaning funksiya uchun o`ngga ko`tarilish nuqtasi ekanligini ko`rsatadi. Bu funksiyaning oraliqdagi barcha o`ngga ko`tarilish nuqtalari to`plami ochiq bo`ladi. Bu to`plam (j=1,2 …) tuzuvchi oraliqlarning yig`indisiga teng, shu bilan birga bu oraliqlar chegarasida

Yoki

Buni j indeks bo`yicha yig`ib

Munosbatlarga, k bo`yich yig`ib esa
(9)
Munosabatlarga ega bo`lamiz.
Ko`rinadiki, oraliqlar sistemasi oraliqlar sistemasi kabi, to`plamni qoplaydi, ammo oraliqlarning uzunliklari yig`indisi lar uzunliklarining yig`indisidan kichik.
to`plamning har bir x nuqtasi uchun oraliqlarning ichida yuqoridagi yasashlarni qaytarish mumkin. Natijada yangi uchinchi xil sistemani va to`rtinchi xil sistemani hosil qilamiz va bular uchun:
.
Bu ifodani k va j bo`yicha yig`ib va (a) dan foydalanib

Tengsizlikni yoza olamiz.
Bu ifoda ko`rsatadiki, to`rtinchi qadamda olingan oraliqlarning ( to`plamni qoplagan holda) uzunliklari yig`indisi ilgarigi qadamda olingan oraliqlarning uzunliklari yig`indisidan kichik. Agar yuqoridagi yasashlarni davom ettirsak, u holda p – raqamdagi oraliqlar sistemasi ham to`plamni qoplaydi. Va bu sistemadagi oraliqlarning uzunliklari yig`indisi dan katta bo`lmaydi va demak, p yetarli katta bo`lganda, uni ixtiyoriy sondan kichik qilinishi mumkin. Bundan to`plamning o`lchovi nolga tengligi kelib chiqdi.
Shu bilan teorema uzluksiz monoton funksiyalar uchun isbot qilinadi. Endi teoremani uzlukli monoton funksiyalar uchun isbotlaymiz.
Eslatamizki, ixtiyoriy monoton funksiya faqat birinchi turdagi uzilishlarga ega bo`lishi mumkin. Shunig uchun har qanday nuqtada funksiyaning o`ng va chap limitlari mavjud:
,
Darhaqiqat, biror tomondan bir uchta turli limit qiymatlarining mavjud bo`lishi funksiyaning monotonligiga zid: oraliq uzunligi ya`ni ayirma funksiyaning x nuqtadagi sakrashi bo`ladi. funksiya monoton bo`lgani uchun turli uzilish oraliqlari kesishmaydi. (ko`pi bilan umumiy uchga ega bo`lishi mumkin); agar har bir orliqdan bittadan ratsional sonni tanlab olsak, bunday oraliqlarning soni ko`pi bilan sanoqli bo`lishini ko`ramiz.
Demak, monoton funksiyaning uzulish nuqtalari ko`pi bilan sanoqli ekan.
Uzluksiz monoton funksiyaning hosilasi mavjudligini tekshirish uchun Riss limmasini umumlashtiramiz. funksiya uzluksiz bo`lmasa ham ko`pi bilan birinchi turdagi uzulishga ega bo`lgan funksiya bo`lsin. Agar x nuqta uchun tengsizlikni qanoatlantiradigan mavju bo`lsa, x nuqta o`ngga ko`tarilish nuqtasi deyiladi. Yuqorida ko`tarilgan Riss lemmasidagi mulohazalarni takrorlab, barcha o`ngga ko`tarilish nuqtalaridan iborat bo`lgan to`plamning ochiqligini va bu to`plamni tuzuvchi oraliqlarda tengsizlikning o`rinliligini hosil qilamiz. Bu esa teoremaning isbotini o`zgarishsiz o`tkazish uchun kifoya. Shu bilan teorema to`la isbotlanadi.