Reja: Monoton uzluksiz funksiyalar

4.3-teorema. Agar segmentda aniqlangan va o`zgarishi chegaralanmagan funksiya biror ( ) nuqtada uzluksiz bo`lsa u holda bu nuqtada funksiya ham uzluksiz bo`ladi.
Isbot. bo`lsin; funksiyaning nuqtada o`ngdan uzluksizligini ko`rsatamiz. Buning uchun [ , b] segmentni shunday

n ta qismga bo`lamizki, ixtiyoriy son uchun quyidagi munosabat o`rinli bo`lsin:

Chap tamondagi yig`indi bo`lish nuqtalari ko`payganda o`sishigina mumkin; shuning uchun nuqtani quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladigan qilib tanlab olamiz:

U holda (7) dan:

Bundan:
ya`ni

ixtiyoriy bo`lgani uchun: , tenglik ham huddi shunga o`xshash isbot etiladi, ya`ni funksiya (agar bo`lsa) nuqtada chapdan uzluksiz. Xususiy ( ) holda ni nuqtada chapdangina ( nuqtada o`ngdangina) uzluksizligini ko`rsatish kifoya.
4.4-teorema. segmentda aniqlangan o`suvchi funksiaylardan iborat cheksiz to`plam berilgan bo`lib, bu funksiyalar to`plami biror o`zgarmas M son bilan chegaralangan, ya`ni
4.1
bo`lsa, u holda ixtiyoriy sanoqli to`plam uchun to`plamdan shunday funksiyalar ketma-ketlikni ajratib olish mumkinki, bu ketma-ketlik to`plamning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot. to`plam sanoqli bo`lganligi uchun uning elimentlarini
ketma-ketlik shaklda yozib

to`plamni tuzamiz, bu yerda ning o`zi to`plamda o`zgaradi.

0. 
   shartga ko`ra to`plam chegaralangan bo`ladi. Demak, Bolsano-Veyershtrass teoremasiga muvofiq bu to`plamdan yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin:
   

Endi quyidagi chegaralangan ketma-ketlikni tuzamiz.

Bu ketma-ketlikka ham Bolsano-Veyershtrass teoremasini tadbiq qilib,
nuqtada yaqinlashuvchi

Ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, quyidagi yaqinlashuvchi soni sanoqli ketma-ketliklarni tuzishimiz mumkin.

(4.2)
…………………………………..

Bu ketma-ketliklarning har biri oldingisidan qism ketma-ketligidir. (4.1) ketma-ketliklarning diognalida joylashgan elimentlaridan
(4.3)
ketma-ketlik tuzilsa, bu ketma-ketlik sanoqli to`plamning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo`lib, biz izlagan ketma-ketlik bo`ladi. (10) ketma-ketlik to`plamning har bir nuqtasida yaqinlashadi, chunki, agar bo`lsa, u holda ketma-ketlikning tuzilishiga ko`ra da ga yaqinlashadi.