SH. A. Alimov, O. R. Xolmuhamedov, M. A. Mirzaahmedov

x
y
x
y
+
−
hám
2)
2
2
2
2
0,1
0,02
0,17
0,08 ;
x
y
x
y
−
−
+
hám
3)
3
3
3
3
0,12
0,39
;
a
b
a
b
−
−
hám
4)
3
3
3
3
0,12
0,39
.
a
b
a
b
+
−
+
hám
269.
Kópa®zalšlardš…  qosšndšsšn  «ba®ana»  usšlšnda  tabš…:
1)
2
2
2
3
2
2
3 ;
ab a
b
a
ab
+
−
−
hám
2)
2
2
2
2
2
3
3
2
4
4
2
3
.
x
xy
y
y
xy
x y
x
+
−
−
+
−
hám
270.
Kópa®zalšlardš…  ayšrmasšn  «ba®ana»  usšlšnda  tabš…:
1)
2
2
3
8
4
3 8
5 ;
a
a
a
a
+
−
+
−
hám
2)
3
2
2
3
3
4
2
.
b
b
b
b
b
b
−
+
+
+
hám
271.
1) Eger  P = 5a
2
+ b,  Q =
−
4a
2 
−
b  bolsa,  P + Q  a…latpasš
nege  te…?
2) Eger  P = 2p
2
 
−
3q
3
,  Q = 2p
2
−
4q
3
  bolsa,  P
−
Q  a…latpasš
nege  te…?
3) Eger  A = a
2
−
b
2
+ ab,  B =  2a
2
+ 3ab
−
5b
2
,  C =  
−
4a
2
+
 
+  2ab 
−
3b
2
  bolsa,  A  + B  +  C  nš  tabš…;
4) Eger  A =  2a
2
- 3ab + 4b
2
,  B = 3a
2  
+ 4ab
−
b
2
,  C = a
2
+
+ 2ab + 3b
2
  bolsa,  A
−
B + C  nš  tabš…;
272.
Dálille…:
1)  bes  izbe-iz  natural  sannš…  qosšndšsš  5  ke  bólinedi;
2)  tórt  izbe-iz  natural  sannš…  qosšndšsš  4  ke  bólinbeydi;
3)  tórt  izbe-iz  taq  natural  sannš…  qosšndšsš  8  ge  bólinedi;
4)  tórt  izbe-iz  jup  natural  sannš…  qosšndšsš  4  ke  bólinedi.

84
273.
Avtobusta  n  jolawshš  bar  edi.  Dáslepki  eki  bándirgini…
hárbirinde  m  jolawshš  avtobustan  tústi,  úshinshi  bándirgide
bolsa  heshkim  túspedi,  biraq,  birneshe  jolawshš  avtobusqa
mindi,  sonnan  keyin  avtobusta®š  jolawshšlar  sanš  k  ®a  te…
boldš.  Úshinshi  bándirgide  avtobusqa  neshe  jolawshš  mingen?
Kópa®zalšnš  bira®zalš®a  kóbeytiw
Qálegen  kópa®zalšnš  bira®zalš®a  kóbeytiw  de  tap  usšlay  oršn-
lanadš,  máselen:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
=
−
+ −
−
=
= −
+
−
+
−
=
−
−
−
+
+
−
= −
+
−
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
3
4
2
4
3
4
8
12
;
3
4
5
5
3
5
4
5
5
5
15
20
25
.
n m
nm
nm
n m
nm
nm
nm
n m
n m
a
ab
c
bc
a
bc
ab
bc
c
bc
a bc
ab c
bc
Kópa®zalšnš  bira®zalš®a  kóbeytiw  ushšn  kópa®zalšnš…
hárbir  a®zasšn  usš  bira®zalš®a  kóbeytiw  hám  kelip  shšqqan
kóbeymelerdi  qosšw  kerek.
Kópa®zalšnš  bira®zalš®a  kóbeytiw  nátiyjesinde  jáne  kópa®zalš
payda  boladš.  Payda  bol®an  kópa®zalšnš  onš…  barlšq  a®zalaršn
16-
12-súwret.
b
3a
a
2b
c
Ólshemleri  12-súwrette  kórsetilgen  tuwrš
múyeshli  parallelepipedti  qaraymšz.  Onš…
kólemi  ultanšnš…  maydanš  menen  biyik-
ligini…  kóbeymesine  te…:
(a + 2b + c)(3ab).
Bul  a…latpa  a + 2b + c  kópa®zalšsš  menen
3ab  bira®zalšsšnš…  kóbeymesi  boladš.
Kóbeytiwdi…  bólistiriw  nšzamšn  payda-
lanšp,  tómendegishe  jazšw  múmkin:
(a + 2b + c)(3ab) = a(3ab) + 2b(3ab) +
+ c (3ab) = 3a
2
b + 6ab
2
+ 3abc.

85
standart  túrde  jazšp,  ápiwayšlastšršw  kerek.  Aralšqta®š  nátiyjelerdi
jazbastan,  bira®zalšlardš  awšzeki  kóbeytip,  birden  juwabšn  jazšw  da
múmkin,  máselen,
(
)
2
2
2
2
3
3
1
3
2
2
3
2
4
2
.


−
+
−
−
=
−
+




ab
ab
a
b
a b
a b
ab
Bira®zalšnš  kópa®zalš®a  kóbeytiw  de  usš®an  uqsas  oršnlanadš,
sebebi  kóbeytiwshilerdi…  oršnlaršn  almastšr®an  menen  kóbeyme
ózgermeydi,  máselen,  4pq (3p
2
−
q + 2) = 12p
3
q
−
4pq
2
+ 8pq.
Kópa®zalš  hám  bira®zalšnš…  kóbeymesin  tabš…  (274—278):
274.
1)
( ) (
)
−
m
5 · 10 +
;
3)
(
)
( )
−
1
7
;
2)
( )
(
)
−
−
x
1 ·
2
2 +
;
4)
( 2
3 ) ( 10).
m
n
−
+
−
275.
1)
(
)
;
−
a b n
3)
(
)
6 5
2 ;
−
−
x y
x
2)
(
)
5
2 ;
− x+ y z
4
4)
(
)
2
1 .
− +
x
x
x
276.
1)
(
)
7
2
3 ;
+
ab a
b
3)
(
)
−
2
2
2
12
;
p q q p q
2)
(
)
+
2
5
15
3 ;
a b
b
4)
(
)
−
2
3
3
2
.
xy xy
x
277.
1)
(
)
17 5
6
;
+
−
a a
b
ab
3
3)
(
)
+
+
2
3
5
6
7 ;
x y x
y
z
2)
(
)
2
8
3
;
−
+
ab b
ac c
2
4)
(
)
+
+
2
2
2
2
3
.
xyz x
y
z
278.
1)
(
)
−
a b
ab
a b
3 2
4
3
1
3
4
2
4
3
;
2)
(
)
+
2 4
3
3
2
1
3
3
2
2
.
a b
a b
ab
(
)
(
)
2
2
2 2
3
3
1
3
2
2
3
2
4
·
2
.
−
+
−
−
=
−
+
ab
ab
a
b
a b
a b
ab
S h š n š ® š w l a r
2y -5 ·

86
A…latpanš  ápiwayšlastšrš…  (279—281):
279.
1)
(
) (
)
2
3 3 2 ;
−
−
−
6
3
t
n
t
n
3)
(
) (
)
2 3
2
5 2
3 ;
−
−
−
−
x
y
y
x
2)
(
)
(
)
4
;
−
−
−
5
2
3
a b
a
b
4)
(
) (
)
6 5 7 .
−
+
7 4
3
p+
p
280.
1)
(
)
(
)
−
−
−
2
2
1 3
2 2 ;
x
x
x
x
2)
(
)
(
)
−
−
−
2
2
4
3 2
3
4 3 ;
a
b b
a
b b
3)
(
) (
) (
)
2 3
4 3
7 7 2
7 ;
a
+ +
− −
−
a
a
4)
(
) (
) (
)
5
3 6 3
4 .
− −
− +
−
3 2
1
x
x
x
281.
1)
(
)
(
)
(
)
5
0,
0,7
8 0,7 0,4 ;
−
−
+
−
0,8
1
4
1
y
y +
y
2)
(
) ( )
−
+
+
1
1
2
4
2
x
x
1
1
2
2
3
1
;
3)
( ) ( )
−
−
−
x
x
5 1
1
4 1
3
4 5
5
5 4
4
;
4)
(
)
(
)
(
)
4
1,3 5 0,1
1,62 .
+ −
−
+
−
0,2 5
6
0,25
y
y
y
282.
Algebralšq  a…latpanš…  mánisin  tabš…:
1)
(
)
(
)
+
−
+
=
= −
7 4
3
6 5
7 , bunda
2,
3;
a
b
a
b
a
b
2)
(
) (
)
+ −
−
−
2
1
2
1 , bunda =10, = 5;
a b
b a
 
a
b
3)
(
)
(
)
−
+
−
=
= −
2
2
2
2
3
4
4
3
, bunda
10,
5;
ab a
b
ab b
a
a
b
4)
(
)
(
)
−
−
+
= −
= −
2
2
4
5
3
5
4
, bunda
2,
3.
a
a
b
a
a b
a
b
Kópa®zalšnš  kópa®zalš®a  kóbeytiw
M á s e l e .
  Ólshemleri  13-súwrette  kórsetilgen  shkaflar  menen
qaplan®an  diywal  betini…  maydanšn  tabš….
  Shkaflar  menen  qaplan®an  diywal  betini…  tárepleri
2a  +  c   +  2a  =  4a  +  c  hám  a   +  b   +  a   =  2a  + b
bol®an  tuwršmúyeshlikten  ibarat.  Bul  tuwršmúyeshlikti…  maydanš
S  = (4a  + c)(2a  + b)  ge  te….
(4a   +  c)(2a   +  b)  a…latpa  (4a   +  c)  hám  (2a  +  b)  kópa®zalš-
lardš…  kóbeymesi  bolšp  tabšladš.
17-

87
2a
c
a
b
a
Sanlardš  kóbeytiwdi…  bólistiriw  nšzamšn  qollanšp,
S  = (4a  + c)(2a  + b)  = 4a(2a  + b)  + c(2a  + b)
sšyaqlš  jazšw  múmkin.  So…šnan,  4a(2a  + b)  =  8a
2
  + 4ab  hám
c(2a  + b)  =  2ac  + bc  bol®anš  ushšn  S  =  8a
2
  + 4ab  + 2ac  + bc.
13-súwret.
Solay  etip,  berilgen  kópa®zalšlardš…  kóbeymesin  tabšw  ushšn
4a +  c  kópa®zalšnš…  hárbir  a®zasšn  2a +  b  kópa®zalšnš…  hárbir
a®zasšna  kóbeytiw  hám  nátiyjelerdi  qosšw®a  tuwrš  keldi.  Qálegen
eki  kópa®zalšnš  kóbeytiw  de  tap  usšnday  etip  oršnlanadš,  mšsalš,
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
−
−
=
⋅
+
⋅ −
+ −
⋅
+
+ −
⋅ −
=
−
−
+
=
−
+
2
2
2
2
7
2
3
5
(7 ) (3 ) (7 )
5
2
(3 )
2
5
21
35
6
10
21
41
10 .
n
m
n
m
n
n
n
m
m
n
m
m
n
nm
mn
m
n
nm
m
Kópa®zalšnš  kópa®zalš®a  kóbeytiw  ushšn  birinshi  kóp-
a®zalšnš…  hárbir  a®zasšn  ekinshi  kópa®zalšnš…  hárbir  a®za-
sšna  kóbeytiw  hám  kelip  shšqqan  kóbeymelerdi  qosšw  kerek.
Kópa®zalšnš  kópa®zalš®a  kóbeytiw  nátiyjesinde  jáne  kópa®zalš
payda  boladš.  Bul  kópa®zalšnš  standart  túrde  jazšw  kerek.
2a
(
) (
)
−
−
=
−
−
+
2
2
7
2
3
5
21
35
6
10 .
n
m
n
m
n
nm
mn
m

88
Máselen,
(
)(
)
−
+
−
=
−
−
+
+
+
−
=
−
−
+
−
2
2
2
2
2
4
3
5
10
2
20
4
15
3
10
2
20
19
3 .
a
b
c
b c
ab
ac
b
bc
bc
c
ab
ac
b
bc
c
Birneshe  kópa®zalšlardš  kóbeytiwdi  izbe-iz  oršnlaw  kerek,
máselen,
(
)(
)(
)
(
)
(
)
+
+
−
=
+
+
−
=
=
−
+
−
+
−
=
−
−
2
2
3
2
2
2
2
3
3
2
3
2
3
3
2
3
3
3
9
2
6
7
6 .
a b a
b a
b
a
ab
b
a
b
a
a b
a b
ab
ab
b
a
ab
b
Kópa®zalšlardš  kóbeyti…  (283—291):
283.
1)
(
) (
)
;
+
+
a
a
2
3
3)
(
)
(
)
;
+
−
m
n
6
1
2)
(
) (
)
1
4 ;
−
+
z
z
4)
(
) (
)
4
5 .
+
+
b
c
284.
1)
(
) (
)
4
3 ;
−
−
c
d
3)
(
) (
)
;
x+ y x+ 1
2)
(
) (
)
10
2 ;
−
− −
a
a
4)
(
) (
)
.
− +
− −
p q
q
1
285.
1)
(
) (
)
;
2
1
4
x +
x +
3)
(
) (
)
3
2 2
1 ;
−
−
m
m
2)
(
) (
)
2
5
;
−
a+
a
3
4
4)
(
) (
)
3
4
.
−
−
5p
q
p q
286.
1)
(
) (
)
+
−
a
b
a
b
1
1
2
2
3
3 ;
3)
(
) (
)
−
+
1
1
3
3
a
b
a
b
2
2 ;
2)
(
) (
)
0,3
0,3 ;
−
+
m m
      4)
(
) (
)
.
−
0,2
0,5
0,2
0,5
a+
x
a
x
287.
1)
(
) (
)
;
+
+
a
b a b
2
2
3)
(
) (
)
2
2
2
2
a
b
a b
+
+
;
2)
(
) (
)
2
2
2
2
5
6
6
5
;
x
y
x
y
−
−
4)
(
)
(
)
2
2
1
3 .
x
x
x
+
+
+
288.
1)
(
)
(
)
2
2
;
−
+
+
2
2
4
a b
a
ab b
2)
(
)
(
)
2
2
9
6
4
;
−
+
+
2
3a
b
a
ab
b
3)
(
)
(
)
;
−
2
2
5
3
25
15 + 9
x + y
x
xy
y
4)
(
)
(
)
2
6
4
.
ab
b
−
+
2
3
2
9
a+ b
a
S h š n š ® š w l a r

89
I
II
III
IV
c
d
c
b
a
289.
Noqatlar  ornšna  qanday  bira®zalšlardš  jazsa…šz  te…lik  duršs
boladš:
1) (2a – 5b)(... – ...) = 6a
3
– 15a
2
b – 14ab + ...;
2) (... – ...)(6x
2
– 5y
2
) = 12x
3
+ 42x
2
y – ... – 35y
3
;
3) (3a + 4c)(... + ...) = 20ac + 8bc + 6ab + ...;
4) (... + ...)(2a + 5b) = ... + 5ab + 8ac + 20b ?
290.
1)
(0,2
0,2
) (
);
x
y z x y
+
−
−
 
  2)
(0,3
0,3
) (
).
x
y z x y
−
+
+
291.
1)
(
) (
) (
3 );
a b a b a
b
−
+
−
 
  3)
(
3) (2
1) (3
2);
x
x
x
+
−
+
2)
(
) (
) (
3 );
a b a b a
b
+
−
+
 
  4)
(
2) (3
1) (4
3).
x
x
x
−
+
−
292.
  1)  Te…likti…  duršslš®šn  dálille…:
c
2
+ b(a
−
c) + (b + d
− c
)c + d(a
−
c) = a(b + d);
2) Tuwršmúyeshlikti…  maydanšn  esaplaw  ushšn  eki  a…latpa
dúzi…  (14-súwret).
Tuwršmúyeshlikti…  maydanš  I,  II,  III,  IV  tuwršmúyeshlikler
maydanšnš…  qosšndšsšna  te…liginen  paydalanš…  hám
1-te…likke  geometriyalšq  analiz  beri….
293.
1)  Tómendegi  figuranš…  maydanš  hám  perimetrin  esaplaw
ushšn  formulalar  dúzi…  (15-súwret).
2)  Figura  járdeminde:
a) a(c + d) = ac + ad;
15-súwret.
14-súwret.
k
a
l
n
d
c
a

90
b)  a . (k + l + n) = ak + al + an  te…liklerin  dálille….  Bul  for-
mulalardš…  geometriyalšq  mánisin  ashš….
294.
1)  ABCD  tuwršmúyeshligini…  (16-súwret)  maydanš
(
) (
)
a b c d
ac bc ad bd
+
+
=
+
+
+
ekenligin  kórseti….
2)   ABFE  tuwršmúyeshligini…  (17-súwret)  maydanš
(
) (
)
a b c d
ac bc ad bd
+
−
=
+
−
−
ekenligin  kórseti….
Bira®zalš  hám  kópa®zalšnš  bira®zalš®a  bóliw
Birneshe  bira®zalš  hám  kópa®zalšlardš  qosšw,  alšw,  kóbeytiw
hám  natural  kórsetkishli  dárejege  kóteriw  nátiyjesinde  jáne
kópa®zalš  payda  bolatu®šnlš®š  aldšn®š  paragraflarda  kórsetildi.  Atap
ótilgen  bul  ámeller  ishinde  bóliw  ámeli  ushšraspadš.  Bóliw
ámelin  óz  ishine  al®an  a…latpalar  V  bapta  tolš®š  menen  qaraladš.
Geyde  bóliw  nátiyjesinde  de  kópa®zalš  payda  boladš.
1.  Bira®zalšnš  bira®zalš®a  bóliw.
Másele.
  32a
3
b
2
  bira®zalšsšn  4a
2
  bira®zalšsšna  bóli….
 Sandš  sanlar  kóbeymesine  bóliw  qásiyetinen  paydalanamšz:
sandš  kóbeymege  bóliwde  usš  sandš  kóbeymeni…  birinshi
kóbeytiwshisine  bóliw  kerek,  so…šnan  kelip  shšqqan  nátiyjeni
ekinshi  kóbeytiwshige  bóliw  kerek  hám  t.b.  Nátiyjede,
18-
16-súwret.
17-súwret.
B
E
C
M
A
a K
b
D
F
c
d
M
N
K
B
A
P
E
F
a
b
c
d

91
(
) ( ) (
)
(
)
=
3 2
2
3 2
2
32
: 4
32
: 4 : .
a b
a
a b
a
Endi  mšna  qa®šydanš  qollanamšz:  kóbeymeni  san®a  bóliwde
kóbeymeni…  kóbeytiwshilerinen  birin  usš  san®a  bóliw  kerek.
Onda:
(
)
(
)
=
=
3 2
3 2
3 2
32
: 4
32 : 4
8
;
a b
a b
a b
(
)
(
)
=
=
3 2
2
3
2
2
2
8
:
8 :
8
.
a b
a
a a b
ab
Solay  etip,
(
) ( )
=
3 2
2
2
32
: 4
8
.
a b
a
ab
Bira®zalšlar  basqa  ja®daylarda  da  tap  usšlay  bólinedi,  máselen,
(
)
2 3
2 3
:
4
4
1;
a b
a b =
(
) (
)
4 2
2
2
66
: 22
3
;
c
=
a b
a b
a bc
(
) (
)
2 2
2
2
9
:
3
3 .
−
= −
2
k n m
kn m
k
Bóliw  nátiyjesin  kóbeytiw  menen  tekseriw  múmkin:  bóliniwshi
bóliwshi  menen  tiyindini…  kóbeymesine  te…  bolšwš  kerek.
Máselen, 
(
) (
)
5 3
2
3
56
: 7
8
c
=
a b
a b c
a b
2
— bóliw  duršs  oršnlan®an,
sebebi 
(
)
5 3
2
3
56
8
.
=
a b c
a b c a b
2
7
2.  Kópa®zalšnš  bira®zalš®a  bóliw.
Másele.
  2a
2
b + 4ab
2
+ 8abc  kópa®zalšsšn  2ab  bira®zalšsšna
bóli….
    Mšna  qa®šydadan  paydalanamšz:  qosšndšnš  san®a  bóliwde
hárbir  qosšlšwshšnš  usš  san®a  bóliw  kerek,  ya®nšy
(
)
( )
( )
( )
+
+
=
+
2
2
2
2
4
8
: 2
2
: 2
a b
ab
abc
ab
a b
ab
(
)
( ) (
) ( )
+
+
= +
+
2
4
: 2
8
: 2
2
4
ab
ab
abc
ab
a
b
c.
 
Kópa®zalš  bira®zalš®a  basqa  ja®daylarda  da  tap  usšlay  bólinedi,
máselen,
(
) (
)
−
+
=
3 2
2 3
2 2
2 2
9
3
: 3
a b
a b
a b
a b
(
) (
) (
) (
) ( ) (
)
=
+ −
+
=
−
3 2
2 2
2 3
2 2
2 2
2 2
1
3
9
: 3
3
: 3
: 3
3
.
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b+

92
Kópa®zalšnš  bira®zalš®a  bóliw  ushšn  kópa®zalšnš…  hárbir
a®zasšn  usš  bira®zalš®a  bóliw  hám  kelip  shšqqan  nátiy-
jelerdi  qosšw  kerek.
Kópa®zalšnš  bira®zalš®a  bóliw  nátiyjesin  kóbeytiw  menen
tekseriw  múmkin.  Máselen,
(
) (
)
−
=
−
4
2
2
4
2
2
2
2
36
45
: 9
4
5
n m
n m
n m
n
m
bóliw  duršs  oršnlan®an,  sebebi
(
) (
)
−
=
−
4
2
2
4
2
2
2
2
36
45
4
5
9
.
n m
n m
n
m
n m
Bul  mšsallarda  bira®zalš  (kópa®zalš)nš  bira®zalš®a  bóliw  nátiy-
jesinde  bira®zalš  (kópa®zalš)  payda  boladš.  Bunday  ja®daylarda
kópa®zalš  bira®zalš®a  qaldšqsšz  bólinedi,  delinedi.  Biraq,  kóp-
a®zalšnš  bira®zalš®a  qaldšqsšz  (pútin)  bóliw  barlšq  waqštta  da
múmkin  emes.  Máselen,  ab  +  ac  kópa®zalšsš  ab  bira®zalšsšna
qaldšqsšz  bólinbeydi.
Bira®zalš  (kópa®zalš)nš  bira®zalš®a  bóliwde  háripler  bóliwshi
nolge  te…  bolmaytu®šn  mánislerdi  qabšl  etedi,  dep  pikir  júritiledi.
Bóliwdi  oršnla…  (295–305):
295.
1)
5
2
: ;
b b
2)
11
7
: ;
y
y
  3)
7
7
: ;
a a
  4)
b b
9
9
: .
296.
1)
: ;
12
4
x
2)
( 15 ) : 5;