SH. A. Alimov, O. R. Xolmuhamedov, M. A. Mirzaahmedov



101
7)
2
2
(100
20 ) (50 10
2 );
x
x
x
x
+
−
−
+
−
8)
2
2
(100
20 ) (50 10
2 ).
x
x
x
x
+
−
+
+
−
Al-Xorezmiy,  Ahmad  Fer®aniy,  Beruniy,  al-Koshi  shš®ar-
malaršnda  algebralšq  simvolika  bolma®an.  Matematik  Abu  Hasan
Ali  ibn  Muhammad  al-Kalasadi  (XV  ásir)  shš®armalaršnda
algebralšq  simvolika  elementlerin  ushšratšw  múmkin.  Al-Kalasadi
te…lemelerinde  belgisizdi…  birinshi  dárejesin  «shay»  sózini…  birin-
shi  háribi  menen,  kvadratšn  «mol»  sózini…,  kubšn  «kab»  sózini…
birinshi  háripleri  menen  belgilegen.  Te…lik  «=»  belgisi  ornšna
«adala»  (te…lik)  sózindegi  a  háribin  qollan®an.  Biz  úyrenip
atšr®an  «Algebra»  kursšnš…  simvolikasš  (belgilewler  sistemasš)
XIV—XVII  ásirlerde  qáliplesken.
Al-Xorazmiydš…  te…lemelerin  sheshi…:
1)
− + ⋅
+
− =
1
3
110
(20
)
4 ;
x
x
x
x
2)
− +
⋅
−
−
−
=
4
11
300
(100 10
) 20 2 ;
x
x
x
3)
(
)
− +
− −
= ⋅
+ +
3
3
5
4
4
500
100
2 100
;
x
x
x
x
x
4)
( )
− − +
−
− = ⋅
+
3
3
3
3
300
100
4
.
x
x
x
x
x
x
x

102
KÓPA„ZALÍNÍ
KÓBEYTIWSHILERGE  JIKLEW
Ulšwma  kóbeytiwshini  qawsšrma
sšrtšna  shš®aršw
1-másele.
  1-ba®  tárepi  427  m  bol®an  kvadrat  formada.  O®an
tutasqan  2-ba®  tuwršmúyeshlik  formada  bolšp,  onš…  eni  427  m,
uzšnlš®š  573  m.  Ba®lardš…  maydanš  birgelikte  neshe  gektardš
quraydš  (19-súwret)?
Eger  a = 427  m,  b = 573  m  dep  belgilesek,  izlenip  atšr®an
maydan  S = a
2
+ab (m
2
)  boladš.
Bul  a…latpa®a  a  hám  b  nš…  mánislerin  qoyšp  esaplaw  waqšttš
aladš.  Biraq,  eki  ba®dš…  birgeliktegi  maydanš  S  ti  a . (a+b)
kóbeyme  de  a…latadš,  ya®nšy  a
2
+ab = a . (a+b)  (súwretke  qara…).
a
2
+ab  a…latpa  o®an  te…  bol®an  a . (a+b)  a…latpa®a  almastšršlsa,
esaplaw  biraz  ápiwayšlasadš.  Haqšyqattan  da,
a
2
+ab=a . (a+b)=427 . (427+573)=427 000 (m
2
) = 42,7  (ga).
Juwabš:  42,7  ga.
Esaplawlardš  ápiwayšlastšršw  ushšn  a
2
+ab  kópa®zalšsš  a . (a+ab)
kóbeymesi  menen  almastšršldš.
Kópa®zalšnš  eki  yaki  birneshe  kópa®zalšlardš…  kóbeymesi
túrinde  a…latšw  kópa®zalšlardš  kóbeytiwshilerge  jiklew  dep
ataladš.
Kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jiklew  algebralšq  a…latpalar  ústinde
ámeller  oršnlawda  da  ke…  qollanšladš.
IV  BAP
19-
a
2
a
a
b
ab
19-súwret.

103
2-másele.
  ab
 
+ ac
 
− ad  a…latpasšnš…  a
 
= 43,  b
 
= 26,  c
 
= 17,
d = 23  bol®anda  san  mánisin  tabš….
  Esaplawlardš  tómendegishe  alšp  baramšz:
43 · 26+43 · 17
−
43 · 23=43 · (26
 
+ 17
−
23)=43 · 20=860.
Bul  jerde  kóbeytiwdi…  bólistiriw  nšzamš  qollanšl®an:
ab
 
+ ac
 
−
ad
 
= a(b
 
+ c
 
−
d).
43 . 26 + 43 . 17 − 43 . 23  sanlš  a…latpasšnda  ulšwma  kóbey-
tiwshi  43  sanš  boladš,  ab + ac − ad  algebralšq  a…latpasšnda  bolsa
ulšwma  kóbeytiwshi  a  boladš.
Eger  kópa®zalšnš…  barlšq  (san  yaki  háripli)  a®zalarš
ulšwma  kóbeytiwshige  iye  bolsa,  onda  usš  kóbeytiwshini
qawsšrma  sšrtšna  shš®aršw  múmkin.
Qawsšrma  ishinde  berilgen  kópa®zalšnš  usš  ulšwma
kóbeytiwshige  bóliw  nátiyjesinde  payda  etiletu®šn  kópa®zalš
qaladš.
3 - m á s e l e .
  Mšna  kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jikle…:
6ab + 3b
−
12bc.
  Berilgen  kópa®zalšnš…  barlšq  a®zalarš  3b  ulšwma  kóbey-
tiwshige  iye,  sebebi
6ab = 3b · 2a,  3b = 3b · 1, 
−
12bc = 3b · (4c).
Demek,  6ab + 3b
−
12bc = 3b(2a + 1
−
4c). 
Kópa®zalšnš…  ulšwma  a®zasšn  máseleni…  mazmunšna  qarap,
qawsšrmanš…  sšrtšna  «+»  belgisi  menen  de,  «−»  belgisi  menen
de  shš®aršw  múmkin.  Mšsallar  keltiremiz:
1) ab
−
b = b(a
−
1) =
−
b(1
−
a);
2) 4a
2
b
3
−
6a
3
b
2
= 2a
2
b
2
  (2b
−
3a)  yaki
    4a
2
b
3
−
6a
3
b
2
=
−
2a
2
b
2
  (
−
2b + 3a)  =
−
2a
2
b
2
  (3a
−
2b).
Kópa®zalšnš  ulšwma  kóbeytiwshini  qawsšrma  sšrtšna
shš®aršw  jolš  menen  kóbeytiwshilerge  jiklew  ushšn:
1)  usš  ulšwma  kóbeytiwshini  tabšw;
2)  onš  qawsšrma  sšrtšna  shš®aršw  kerek.
Eger  kópa®zalš  a®zalaršnš…  koefficientleri  natural  sanlar  bolsa,
ol  ja®dayda  ulšwma  kóbeytiwshini  tabšw  ushšn  kópa®zalš  a®zalarš

104
koefficientlerini…  e…  úlken  ulšwma  bóliwshisin  tabšw  hám
tiykarlarš  birdey  dárejeler  arasšnan  e…  kishi  kórsetkishli  dárejeni
tabšw  lazšmlš®šn  aytšp  ótemiz.  Máselen,  28x
2
b
3
− 21x
3
b
2
  kóp-
a®zalšsšn  kóbeytiwshilerge  jiklep,  tómendegini  payda  etemiz:
7x
2
b
2
 (4b 
−
3x).
Bul  jerde  7  sanš  28  hám  21  sanlaršnš…  e…  úlken  ulšwma  bó-
liwshisi,  al  x
2
  hám  b
2
  bolsa,  x  hám  b  nš…  e…  kishi  kórset-
kishli  dárejeleri  bolšp  tabšladš.
Kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jikleniwini…  duršslš®šn  payda
bol®an  kópa®zalšlardš  kóbeytiw  jolš  menen  tekseriw  múmkin.
Máselen,  kóbeytiwdi  oršnlap,  mšna®an  iye  bolamšz:
7x
2
b
2
(4b  − 3x) = 28x
2
b
3
 − 21x
3
b
2
.
Ulšwma  kóbeytiwshi  kópa®zalš  bolšwš  da  múmkin,  máselen:
1)  5(a + b) + x(a + b) = (a + b)(5 + x);
2)  3x(a
−
2b) + 5y(a
−
2b) + 2(a
−
2b) = (a
−
2b)(3x + 5y + 2).
Geyde  ulšwma  kóbeytiwshini  qawsšrmadan  sšrtqa  shš®aršwdan
aldšn  a − b = − (b − a)  te…ligin  qollan®an  paydalš  boladš,  máselen:
1) (a − 3)x − (3 − a)y = (a − 3)x + (a − 3)y = (a − 3)(x + y);
2)  15a
2
b(x
2
−
y)
−
20ab
2
(x
2
−
y) + 25ab(y
−
x
2
) = 15a
2
b(x
2
−
y)
−
     
−
20ab
2
(x
2
−
y)
−
25ab(x
2
−
y) = 5ab(x
2
−
y)(3a
−
4b
−
5).
330.
Sanlardš  ápiwayš  kóbeytiwshilerge  jikle…:  70,  121,  240,
168,  225.
331.
 
Bólsheklerdi  qšsqartš…:
 
⋅
⋅
⋅
⋅
45 18
75 15
40 14
;
;
;
60 24 25 24
7 15
.
332.
 
Kóbeytiwdi…  bólistiriw  nšzamšn  qollanš…  hám  esapla…:
1) 81 17 15 81;
⋅
−
⋅
3)
15 17 15 67;
⋅ + ⋅
2) 24 2,78 41 2,78;
⋅
+
⋅
4)
⋅
−
⋅
3
1
3
1
8
4
8
4
14 1
4 1 .
S h š n š ® š w l a r

105
333.
Kóbeymeni  kópa®zalš  túrinde  jazš…:
1)
(
) (
)
2
3 ;
+
+
a
a
3)
(
)
3
3
3
2
5 ;
−
c
c
2)
(
)
2
;
−
x x 1
4)
(
) (
)
2
2
.
+
−
a
b a b
334.
 
A  bándirgiden  B  bándirgige  qaray  motorlš  qayšq  20  km/saat
tezlik penen júrdi. Aradan eki saat ótkennen keyin A dan B ®a
qaray  ekinshi  motorlš  qayšq  24  km/saat  tezlik  penen  jol®a
shšqtš.  Eki  qayšq  ta  B  ®a    bir  waqštta  jetip  keldi.  A  dan  B  ®a
shekemgi  aralšqtš  tabš….
335.
  1) 3
6
+ 3
4
 
a…latpanš…
  30 
®a;
  90 
®a;
2) 7
8
+ 7
6
  a…latpanš…  49  ®a;  350  ge;
3) 11
8
−
11
6 
a…latpanš…
  24 
ke;
  60 
qa  eseli  ekenin  dálille….
Ulšwma  kóbeytiwshini  qawsšrmadan  sšrtqa  shš®arš…  (336—344):
336.
1) 2
2 ;
+
m
n
        2) 3
3 ;
−
a
x         3) 8 4 ;
− x
4)
6
12.
+
a
337.
  1) 9 12 3;
+
+
a
b
3) 10
15
5 ;
−
+
−
x
y
z
2) 8
4
2;
−
−
a
b
4) 9
3
12 .
−
+
x
y
z
338.
1)
;
−
ax ay
  2)
;
+
cd bc
  3)
2 ;
+
xy
x
      4) 3
.
−
x xy
339.
1) 9
9 ;
+
mn
n
  2) 3
3 ;
−
bd
ab
3) 11
33 ;
−
z
yz      4)
6
3 .
−
pk
p
340.
1)
2
;
−
+
ab ac a
        3)
2
6
3
12 ;
−
+
a
a
ba
2)
2
;
−
+
xy x
xz
4)
2
2
4
8
12
.
+
−
b
ab
a b
341.
 
1)
4
2
2 ;
+
a
a
3)
4 2
3
;
+
a b
ab
2)
4
3
3 ;
−
a
a
4)
2 3
3 2
.
−
x y
x y
342.
1)
7
4
18
12 ;
+
y
y
3)
5
3
15
5 ;
−
x
x
2)
4
2
6
24 ;
−
x
x
4) a
a
+
5
2
6
3 .
343.
  1)
2 2
3
9
12
;
−
a b
ab
3)
2
2
7
14
;
a bc
ab c
+
2)
3 2
2
20
4
;
x y
x y
+
4)
2
2
9
12
.
xyz
xy z
−
344.
1)
5
4
3
6
12
3 ;
y
y
y
+
−
3)
2 2
2 3
4
4
36
6
;
a b
a b
ab
+
+
2)
4
3
5
20
5
15 ;
a
a
a
−
+
4)
2 4
4 2
3 3
2
2
6
.
x y
x y
x y
−
+

106
345.
Esapla…:
1)
2
137 137 63;
+
⋅
3)
3
0,7
0,7 9,51;
+
⋅
2)
2
187 187 87;
−
⋅
4)
3
0,9
0,81 2,9.
−
⋅
Kóbeytiwshilerge  jikle…  (346—349):
346.
1)
(
) (
)
;
a m n b m n
+
+
+
3)
(
) (
)
5
5 ;
a b
b
− − −
2)
(
) (
)
5
5 ;
b a
c a
+ −
+
4)
(
) (
)
3
3 .
y
b y
− +
−
347.
1)
2 (
) 3 (
);
a a b
b a b
− +
−
3)
(
)
(
)
5
4
;
a x y
b x y
+
−
+
2)
(
)
(
)
3
3 5
3 ;
n m
m m
− +
−
4)
(
)
(
)
7
2
.
a c d
b c d
−
−
−
348.
1)




a x y
b x y
2
2
- +
- ;
3)

 

a x
y
b x
y
2
2
2
2
+
-
+
;
2)




a x y
b x y
2
2
+ -
+ ;
4)

 

x a
b
y a
b
2
2
2
2
2
2
-
+
-
.
349.
1)
(
)
(
) (
)
2
1 3
1
1 ;
b x
a x
c x
− −
− +
−
2)
(
) (
) (
)
;
c p q
a p q
d p q
− −
− +
−
3)
(
) (
) (
)
2
2
2
2
2
2
;
x a
b
y a
b
z a
b
+
+
+
−
+
4)
(
) (
) (
)
2
2
2
1
1
1 .
m x
n x
l x
+ −
+ −
+
Kóbeytiwshilerge  jikle…  (350—352):
350.
1)
(
) (
)
;
c a b
b b a
− +
−
3)
(
) (
)
;
x y
b y x
−
+
−
2)
(
) (
)
;
a b c
c c b
− −
−
4)
(
) (
)
2
.
b x y
y x
−
−
−
351.
1)
(
) (
)
7
3
3
;
y
a
y
− −
−
3)
(
) (
)
2
1
1
;
b a
c
a
− −
−
2)
(
) (
)
6
2
2
;
a
a
a
− +
−
4)
(
) (
)
2
2
2
.
a m
b
m
− +
−
352.
1)
(
)
(
) (
)
2
7
;
a b c
b b c
c b
− +
− −
−
2)
(
) (
) (
)
3
;
x x y
y y x
x y
−
+
−
−
−
3)
(
) (
) (
)
2
2
2
;
x a
y
a
a
− +
− + −
4)
(
) (
) (
)
3
3
3
.
a b
b
b
b
− + − −
−

107
353.
 
Te…lemeni  sheshi…:
1)
2
8 (
3) (
3) 10 (
1) ;
x
x
x
− −
+ =
− −
      3)
1
:15 2
:14,5;
12
x
=
2)
2
2
(2
1)
(2
3)
4(7
5);
x
x
x
+
−
−
=
−
      4)
2,1
.
6
2,3 9
7
x =
354.
Iyt  túlkini…  izinen  quwdš.  Iyt  sekundšna  8  m,  al  túlki  bolsa
6  m  tezlik  penen  shaptš.  Olardš…  arasšnda®š  aralšq  dáslep  360
m bolšp, túlkini… óz uyasšna jetip alšwš ushšn 1 km qal®an edi.
Túlki  óz  uyasšna  jetip  alšw®a  úlgere  me?
Gruppalaw  usšlš
Gruppalaw  usšlš  barlšq  a®zalarš  ushšn  ulšwma  kóbeytiwshisine
iye  bolma®an  kópa®zalšlar®a  qollanšladš.
Geyde,  berilgen  kópa®zalšnš…  birneshe  a®zalaršn  qawsšrma
ishine  alšp,  ulšwma  kóbeytiwshini  anšqlaw  múmkin.  Kópa®zalšlardš
gruppalaw  usšlš  qosšw  hám  kóbeytiwdi…  gruppalaw,  oršn
almastšršw  hám  bólistiriw  nšzamlaršna  tiykarlan®an.
Mšsallar  qaraymšz:
1)
(
)
(
) (
) (
) (
)
+ + + =
+ +
+
=
+
+1 ;
a b c
b c a b c
b c
b c a
2)
(
)
(
) (
) (
) (
)
1 .
a b c
b c a b c
b c
b c a
− − + =
− − − =
−
−
Birinshi  mšsalda  kópa®zalšnš…  aqšr®š  eki  a®zasšn  «+»  belgisi
menen,  ekinshi  mšsalda  kópa®zalšnš…  aqšr®š  eki  a®zasšn  «−»
belgisi  menen  qawsšrma  ishine  alšw  jetkilikli  boldš.
3)
(
)
(
) (
)
−
+
−
=
−
+
−
=
3
3
3
3
m x y
nx ny m x y
nx ny
(
) (
) (
) (
)
=
−
+
−
=
−
+
3
3
3
;
m x y
n x y
x y m n
4)
(
) (
) (
)
−
−
+
+
= −
−
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
mx
my
n x
y
mx
my
n x
y
     
(
) (
) (
)
(
)
= −
+
+
+
=
+
−
2
2
2
2
2
2
.
m x
y
n x
y
x
y
n m
20-

108
Úshinshi  hám  tórtinshi  mšsallarda  kópa®zalšnš…  eki  a®zasšn
qawsšrma  ishine  alšwdan  tšsqarš  payda  etilgen  hárbir  gruppada
ulšwma  kóbeytiwshi  qawsšrma  sšrtšna:  birinshi  ja®dayda  «+»  belgisi
menen,  al  ekinshi  ja®dayda  «−»  belgisi  menen  shš®aršldš.
Ayšršm  ja®dayda  kópa®zalšnš…  a®zalaršn  hár  túrli  usšllar  menen
gruppalaw  múmkin.  Máselen,  2am + 2an  − 3bm  − 3bn  kópa®zalšsšn
kóbeytiwshilerge  eki  usšl  menen  jiklew  múmkin:
             
   I   u s š l
         
I I  u s š l
+
−
−
=
=
+
−
+
=
=
+
−
+
=
=
+
−
2
2
3
3
(2
2 ) (3
3 )
2 (
) 3 (
)
(
)(2
3 ).
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m n
b m n
m n
a
b
          
+
−
−
=
=
−
+
−
=
=
−
+
−
=
=
−
+
2
2
3
3
(2
3 ) (2
3 )
(2
3 )
(2
3 )
(2
3 )(
).
am
an
bm
bn
am
bm
an
bn
m a
b
n a
b
a
b m n
Altš  a®zadan  ibarat  kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jiklewge  tiyisli
mšsal  qaraymšz:
+
−
−
+
+
=
+
−
+
+
+
=
=
+ −
+ +
+
=
+
− +
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)(
).
ax bx ay by az bz
ax bx
ay by
az bz
x a b
y a b
z a b
a b x y z
Bul  jerde  kópa®zalšlar  ekewden  gruppalan®an;  olardš  úsh-úshten
gruppalaw  da  múmkin  edi:
+
−
−
+
+
=
−
+
+
−
+
=
=
− + +
− +
=
+
− +
(
) (
)
(
)
(
) (
)(
).
ax bx ay by az bz
ax ay az
bx by bz
a x y z
b x y z
a b x y z
Kópa®zalšnš  gruppalaw  usšlš  menen  kóbeytiwshilerge
jiklew  ushšn:
1)  kópa®zalšnš…  a®zalaršn,  olar  kópa®zalš  túrindegi
ulšwma  kóbeytiwshige  iye  bolatu®šnday  etip  gruppalar®a
birlestiriledi;
2)  usš  ulšwma  kóbeytiwshini  qawsšrmadan  sšrtqa  shš®a-
ršladš.

109
Kóbeytiwshilerge  jikle…  (355—360):
355.
1)
(
);
a b c a b
+ +
+
3)
3 (
)
;
x
a x y
y
+
+
+
2)
(
);
m n p m n
− +
−
4)
2 (
)
.
x
a x y
y
+
−
−
356.
1)
(
)
2;
(
)
x y
x y
+
+
+
3)
(
) (
)
−
+
−
2
2
;
m m n
m n
2)
(
)
2
;
a b
a b
−
+ −
4)
(
) (
)
− +
−
2
4
1
1 .
q p
p
357.
1)
(
)
2
;
m m n
m n
− + −
3)
2 (
)
;
m m n n m
− − +
2)
(
)
4
1
1;
q p
p
− + −
4)
(
)
4
1 1
.
q p
p
− + −
358.
1)
(
)
;
a x c
bc bx
− +
−
3)
(
)
3 2
8
4 ;
a b c
b
c
+ +
+
2)
(
)
;
a b c
db dc
+ +
+
4)
(
)
2 3
4
6
8 .
x x
y
x
y
−
−
+
359.
1)
2
2 ;
ac bc
ad
bd
+
−
−
3)
2
3
6
;
bx
ay
by ax
−
−
+
2)
3
3 ;
ac
bd ad
bc
−
+
−
4) 5
3
15 .
ay
bx ax
by
−
+
−
360.
  1)
−
−
+
+
−
2
2
2
;
xy
by
ax ab y
a
2)
−
−
+
+
−
2
2
2
.
ax
ay bx
cy by cx
361.
 
Esapla…:
1)
139 15 18 139 15 261 18 261;
⋅ + ⋅
+ ⋅
+ ⋅
2) 125 48 31 82 31 43 125 83;
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
3) 14,7 13 2 14,7 13 5,3 2 5,3;
⋅
− ⋅
+
⋅
− ⋅
4)
⋅
+
⋅ +
⋅
+
⋅
1
1
2
1
4
2
3
5
3
3
5
3
3 4
4,2
3 2
2,8
.
362.
A…latpanš…  san  mánisin  tabš…:
1)
−
−
+
= −
=
2
5
5
7
7 , bunda
3,
4;
a
ax
a
x
x
a
2)
−
−
+
=
=
2
3
3 , bunda
0,5,
0,25;
m
mn
m
n
m
n
3)
+
−
−
=
=
2
5
5 , bunda
6,6,
0,4;
a
ab
a
b
a
b
4)
−
−
+
=
=
a
ab
a
b
a
b
2
7
20
2
2 , bunda
,
0,15.
S h š n š ® š w l a r

110
21-
363.
 
Esapla…:
1)
−
⋅
+
⋅
2
287
287 48 239 713;
2)
+
⋅
−
⋅
2
73,4
73,4 17,2 90,6 63,4.
364.
 
Te…lemeni  sheshi…:
1)
(
)
4
4 0;
x x
x
− + − =
2)
(
)
7 4 28 0.
t t
t
+ − −
=
Marat  penen  Azattš…  salma®š  birgelikte  5  ®arbšzdš…
salma®šna  te….  Azattš…  salma®š  1  qawšnnš…  salma®šnan
4  ese  kóp.  Azat  penen  2  qawšnnš…  birgeliktegi  salma®š
3  ®arbšzdš…  salma®šna  te….  Marattš…  salma®š  neshe
qawšnnš…  salma®šna  te…?
Qosšndšnš…  kvadratš.  Ayšrmanš…  kvadratš
Eki  san  qosšndšsšnš…  kvadratš  (a + b)
2 
tš  qaraymšz.  Kópa®zalšnš
kópa®zalš®a  kóbeytiw  qa®šydasšnan  paydalanšp,  payda  etemiz:
(
) (
) (
)
2
2
2
2
2
2
,
a b
a b a b
a
ab ab b
a
ab b
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
ya®nšy
 
(
)
2
2
2
2
.
a b
a
ab b
+
=
+
+
                        (1)
Eki  san  qosšndšsšnš…  kvadratš — birinshi  sannš…  kvadratš,
qosšw  birinshi  san  menen  ekinshi  sannš…  kóbeymesini…  eki
eselengeni,  qosšw  ekinshi  sannš…  kvadratšna  te….
(1)  formulanš  20-súwrette  kórsetilgen  kvadrattš…  maydanšn
kózden  ótkerip,  a…sat  ®ana  keltirip  shš®aršw  múmkinligin  aytšp
ótemiz.
Endi  eki  san  ayšrmasšnš…  kvadratšn  qaraymšz:
(
) (
)(
)
−
=
−
−
=
−
−
+
=
−
+
2
2
2
2
2
2
,
a b
a b a b
a
ab ab b
a
ab b
ya®nšy
          
(
)
2
2
2
2
.
a b
a
ab b
−
=
−
+
                                 (2)
¹ 7

111
20- súwret.
a
b
a
2
ab
ab
b
2
ba
Eki  san  ayšrmasšnš…  kvadratš—
birinshi  sannš…  kvadratš,  alšw  birinshi
san  menen  ekinshi  sannš…  kóbey-
mesini…  eki  eselengeni,  qosšw  ekinshi
sannš…  kvadratšna  te….
(1)  hám  (2)  te…liklerde  a  hám  b —
qálegen  sanlar  yaki  algebralšq  a…latpalar.
(1)  hám  (2)  formulalardš  qollanšw®a
tiyisli  mšsallar:
1)
(
) ( )
( )
+
=
+ ⋅
⋅
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2
3
2
2 2
3
3
4
12
9 ;
m
k
m
m k
k
m
mk
k
2)
(
) ( )
−
=
− ⋅
⋅ +
=
−
+
2
2
2
2
2
2
4
2
5
3
5
2 5
3 3
25
30
9;
a
a
a
a
a
3)
(
)
( ) (
)
(
)
( ) (
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
3
2 3
3
6
9 .
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a b
b
a
ab
b
− −
= −
+
= −
+
=
=
+
=
+
⋅
+
=
+
+
Kerekli  esaplawlardš  awšzeki  oršnlap,  aralšq  nátiyjelerdi  jaz-
baw®a  da  boladš.  Máselen,  birden  tómendegishe  jazšw  múmkin:
(
)
2
2
2
4
2 2
4
5
7
25
70
49 .
a
b
a
a b
b
−
=
−
+
Qosšndš  yaki  ayšrmanš…  kvadratšnš…  formulalarš  qšsqasha  kó-
beytiw  formulalarš  dep  ataladš  hám  ayšršm  ja®daylarda  esap-
lawlardš  ápiwayšlastšršw  ushšn  qollanšladš.  Máselen:
1)
(
)
=
−
=
−
+ =
2
2
99
100 1
10000 200 1 9801;
2)
(
)
=
+
=
+
+ =
2
2
52
50 2
2500 200 4 2704.
(1)  formula  (1 + a)
2
  a…latpasšnš…  mánislerin  juwšq  túrde
esaplawda  da  qollanšladš.  a  sanš  o…  yaki  teris  san  bolšp,  onš…
moduli  1  ge  salšstšr®anda  kishi  bolsa  (máselen,  a = 0,0032  yaki
a = − 0,0021),  onda  a
2
  sanš  jáne  de  kishireyedi  hám  sonlšqtan,
(1 + a)
2
= 1 + 2à + à
2
te…likti
  (1+a)
2
≈1+2a 
juwšq  te…ligi  menen  almastšršw  múmkin.
Máselen:

112
1
) (1,002)
2
= (1 + 0,002)
2
≈ 1 + 2 · 0,002 = 1,004;
2) (0,997)
2
= (1 − 0,003)
2
≈ 1 − 2 · 0,003 = 0,994.
Qosšndšnš…  kvadratš  hám  ayšrmanš…  kvadratš  formulalarš  kóp-
a®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jiklewde  de  qollanšladš,  máselen:
1)
(
)
+
+
=
+ ⋅ ⋅ +
=
+
2
2
2
2
10
25
2 5
5
5 ;
x
x
x
x
x
2)
( )
( ) (
)
−
+
=
− ⋅ ⋅
+
=
−
2
2
2
4
2 3
6
2
2
3
3
2
3
8
16
2
4
4
4
.
a
a b
b
a
a
b
b
a
b
M á s e l e .
  Formulanš  dálille…:
(
)
3
3
2
2
3
3
3
.
a b
a
a b
ab
b
+
=
+
+
+
(3)
 
(
) (
) (
) (
)
(
)
+
=
+
+
=
+
+
+
=
3
2
2
2
2
a b
a b a b
a b a
ab b
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
3
2
2
2
2
3
3
2
2
3
2
2
3
3
.
a
a b ab
a b
ab
b
a
a b
ab
b
Tap  usš®an  uqsas,
(
)
3
3
2
2
3
3
3
a b
a
a b
ab
b
−
=
−
+
−
(4)
formulasšn  da  dálillew  múmkin.
(3)  hám  (4)  formulalar,  sáykes  túrde,  qosšndšnš…  kubš
hám  ayšrmanš…  kubš  formulalarš  dep  ataladš.
(3)  hám  (4)  formulalarš  da  qšsqasha  kóbeytiw  formu-
lalarš  bolšp  esaplanadš.
Tómendegi  shšnš®šwlarda  ekia®zalšnš…  kvadratšn  kópa®zalš
túrinde  kórseti…  (365—372):
365.
1)
(
)
+
2
;
c d
3)
(
)
+
2
2
;
x
5)
(
)
+
2
3 ;
y
2)
(
)
−
2
;
x y
4)
(
)
+
2
1 ;
x
6)
(
)
+
2
7
.
m
366.
1)
(
)
−
2
2 ;
m
3)
(
)
−
2
7
;
m
5)
( )
+
2
1
3
;
a
2)
(
)
−
2
3 ;
x
4)
(
)
−
2
6 ;
y
6)
( )
+
2
1
2
.
b
S h š n š ® š w l a r

113
367.
1)
(
)
+
2
2
;
q
p
2)
(
)
+
2
3
2
;
x
y
3)
(
)
−
2
6
4
;
a
b
    4)
(
)
2
5
.
z t
−
368.
1)
(
)
+
2
2
3
1 ;
a
2)
(
)
+
2
2
1 ;
a
      3)
(
)
+
2
2
2
2
3
;
x
n
    4)
(
)
+
2
2
2
.
x
y
369.
1)
( )
−
2
1
5
;
m
2)
( )
−
2
1
3
;
a
3)
( )
−
2
2
3
;
a
b
    4)
+






2
3
4
.
y
x
370.
1)
(
)
+
2
0,2
0,3
;
x
y
3)
(
)
−
2
3
2
3
3
4
;
x
2)
(
)
−
2
0,4
0,5
;
b
c
4)
(
)
−
2
3
1
4
4
5
.
a
371.
(
)
+
=
+
+
+
3
3
2
2
3
3
3
a b
a
a b
ab
b  
formulasšna  qanday  geometriya-
lšq  máni  bere  alasšz?
Noqatlar  ornšna  sáykes  sózlerdi  jazš…:
Qšršnš…  uzšnlš®š  a  hám  b  bol®an
  ... 
jasaymšz.  Ólshemleri
a
½
a
½
b 
hám
  a
½
b
½
b 
bol®an
  .... 
jasaymšz.
 
Olardš  sonday
taqlasaq,
  ... 
payda  boladš.
372.
1)
(
)
−
−
2
2
4
5
;
ab
a
3)
(
)
+
2
2
0,2
5
;
x
xy
2)
(
)
−
−
2
2
3
2
;
b
ab
4)
(
)
+
2
2
4
0,5
.
xy
y
Qšsqasha  kóbeytiw  formulalaršnan  paydalanšp,  ámellerdi  oršnla…
(373—375):
373.
1)
(
)
2
90 1 ;
−
        2)
(
)
2
40 1 ;
+
        3)
2
101 ;
4)
2
98 .
374.
1)
2
999 ;
2)
2
1003 ;             3)
2
51 ;
  4)
2
39 .
375.
1)
2
72 ;
2)
2
57 ;
            3)
2
997 ;
  4)
2
1001 .
A…latpanš  ápiwayšlastšrš…  (376—377):
376.
1)
(
) (
)
−
+
+
2
2
;
x y
x y
      3)
(
) (
)
+
−
−
2
2
2
2
;
a b
a b
2)
(
) (
)
+
−
−
2
2
;
x y
x y
                4)
(
) (
)
+
+
−
2
2
2
2
.
a b
a b
8 — Algebra, 7- klass

114
377.
1)
(
) (
)
+
+
−
3
3
;
a b
a b
      3)
(
)
(
)
−
+
−
2
2
3 2
4
5 ;
a
a
2)
(
) (
)
−
−
+
3
3
1
1 ;
x
x
                4)
(
)
(
)
− +
+
−
2
2
3
5 1
.
x
x
Te…lemeni  sheshi…  (378—379):
378.
1)
(
)
−
−
=
2
2
16
4
5
15;
x
x
            3)
(
) (
)
−
− +
−
= −
2
5
3 5
1
20;
x x
x
2)
(
)
− −
=
2
2
64
3 8
87;
x
x
            4)
(
) (
)
−
−
+
=
2
2
2
3
2
3
12.
x
x
379.
1)
(
) (
)
−
−
−
=
2
2
3
1
3
2
0;
x
x
2)
(
) (
) (
)
−
+ −
−
=
2
2
3
2
5;
y
y
y
3)
(
) (
) (
)
+
+
−
+
=
2
3
7
4
0;
x
x
x
4)
(
) (
) (
)
+
−
+
−
=
2
8
9
5
117.
y
y
y
380.
A…latpanš…  mánisin  tabš…:
1)
(
)
(
)
−
+
+
+
= −
2
3
1
6
9
3
2
4 3
7 , bunda
1 ;
a
a a
a a
a
2)
(
)
(
)
−
−
−
−
= −
2
2
2
7
2
5
4
3
4 , bunda
;
y
y
y
y
3)
(
) (
)
− −
−
−
= −
2
25
1
5
3
6 , bunda
0,3;
m m
m
m
m
4)
(
) (
)(
)
−
−
+
−
+
= −
2
2
5 .
9
24
7
2
5
3 5
1 , bunda
x
x
x
x
x
381.
x  ti  sonday  bira®zalš  menen  almastšrš…,  nátiyjede  te…lik
oršnlansšn:
1)
(
)
−
=
−
+
2
7
4 2
2 8
14
4
25
40
16 ;
x
b
a b
a b
b
2)
(
)
+
=
+
+
2
6
3
2
7
25
70
49 ;
x
c
b
b c
c
3)
(
)
+
=
+
+
+
3
3
2
2
3
2
8
12
6
;
a x
a
a b
ab
b
4)
(
)
−
=
−
+
2
2
4
2 3
4 2
5
25
30
9
.
b
x
b
a b
a b
382.
A…latpanš  ekia®zalšnš…  kvadratš  túrinde  a…latš…:
1)
−
+
2
2
10
25 ;
a
ab
b
3)
+
+
4
2
2
1;
k
k
2)
+
+
2
25 10
;
x x
4)
−
+
2
1,6
0,64.
p
p

115
383.
  x  ti  sonday  bira®zalš  menen  almastšrš…,  nátiyjede  ekia®za-
lšnš…  kvadratš  payda  bolsšn:
       
1)
+
+
2
4
;
a
a x
3)
− +
2
2
36
49 ;
a
x
b
2)
−
+
2
0,5
;
p
p x
4)
−
+
2
6
.
a
ab x
384.
a  nš…  qanday  mánislerinde  a…latpanš  ekia®zalšnš…  kvadratš
kórinisinde  jazšw  múmkin:
1)
(
) (
)
−
+
+
+
2
2
3
5
4
12
;
x
x
ax       2)
(
) (
)
+
−
−
+
2
2
17
10
15
8
?
x
x
ax
385.
Dálille…:
1)
(
) (
)
−
=
−
2
2
;
a b
b a
     4)
(
)
(
)
−
= − −
3
3
;
a b
b a
2)
(
) (
)
− −
=
+
2
2
;
a b
b a
     5)
(
)
+
=
+
+
+
3
3
2
2
3
3
3
;
a b
a
a b
ab
b
3)
(
) (
)
(
)
− −
+
= −
+
2
;
a b a b
a b
     6)
(
)
−
=
−
+
−
3
3
2
2
3
3
3
.
a b
a
a b
ab
b
Kvadratlar  ayšrmasšnš…  formulasš
Eki  sannš…  qosšndšsšn  olardš…  ayšrmasšna  kóbeytemiz:
(
)(
)
+
−
=
−
+
−
=
−
2
2
2
2
,
a b a b
a
ab ab b
a
b
ya®nšy
(
)(
)
2
2
.
a b a b
a
b
+
−
=
−
                           (1)
(
)(
)
2
2
.
a
b
a b a b
−
=
−
+
                          (2)
Eki  san  kvadratlaršnš…  ayšrmasš  usš  sanlardš…  ayšrmasš
menen  olardš…  qosšndšsšnš…  kóbeymesine  te….
(1)  hám  (2)  te…likte  a,  b  qálegen  sanlar  yaki  algebralšq
a…latpalar  bolšp  tabšladš,  máselen:
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
4 2
2 4
2
2
2
2
2
1)
3
3
9 ;
2) 4
25
2
5
2
5
;
3)
16
4
4 .
nm
k nm
k
n m
k
a b
a b
a b
ab
a b
ab
a b
a b
a b
+
−
=
−
−
=
+
−
+
−
=
+ −
+ +
22-

116
(2)  formulanš…  geometriyalšq  analizi.
(1)  formula  da  qšsqasha  kóbeytiw  formulasš  dep  ataladš.
Onš  esaplawlardš  ápiwayšlastšršw  ushšn  qollanšladš.
Máselen:
(
)(
)
(
)(
)
⋅
=
+
− =
− =
⋅
=
−
+
=
−
=
− =
2
2
1) 63 57
60 3 60 3
3 600 9 3 591;
2) 98 102
100 2 100 2
100
2
10000 4 9 996.
(2)  te…lik  kvadratlar  ayšrmasšnš…  formulasš  dep  ataladš.
Ol  kópa®zalšlardš  kóbeytiwshilerge  jiklewde  qollanšladš.
Máselen:
(
) (
)
( )
(
)
(
) (
)
− =
−
=
−
+
−
=
−
=
−
+
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
1)
9
3
3
3 ;
2) 4
0,64
2
0,8
2
0,8
2
0,8 ;
a
a
a
a
b
c
b
c
b
c
b
c
(
)
(
) (
)
(
) (
) (
)(
)
(
)(
)
−
− =
− −
− +
+
−
−
=
+ − +
+ + − =
=
+
+ −
2
2
2
3)
1
1
1 ;
4)
2
.
a b
a b
a b
a b
a c
a b a c a b a c
b c
a b c
(1)  formuladan  paydalanšp,  kóbeytiwdi  oršnla…  (386—394):
386.
1)
(
)(
)
+
−
;
c d c d
3)
(
)(
)
+
−
;
a c c a
2)
(
)(
)
+
−
;
p q p q
4)
(
) (
).
m n m n
−
+
S
ABCD
= a
2
;
S
AEFG
= b
2
;
S
GFEBCD
= S
EBHL
;
S
GFEBCD
= a
2
- b
2
;
S
EBHL
= (a - b)(a + b).
B
a
C  b
H
a
2
F
L
M
a
-
b
b
2
E
A
G
D
S h š n š ® š w l a r

117
387.
  1)
(
)(
)
+
−
5
5 ;
x
x
3)
(
)(
)
−
+
4 4
;
a
a
2)
(
)(
)
+
−
3
3 ;
a
a
4)
(
)(
)
+
−
7
7 .
x x
388.
1)
(
)(
)
+
−
2
2
;
b a
b a
3)
(
)(
)
+
−
6
6
;
y
x
x y
2)
(
)(
)
+
−
3
3 ;
c
d c
d
4)
(
)(
)
−
+
3
2
2
3
.
m
n
n
m
389.
1)
( )( )
−
+
1 1
2 2
4
4 ;
d
d
3)
(
)(
)
−
+
1
1
1
1
2
3
2
3
;
y
x
y
x
2)
( )( )
−
+
5
5
6
6
;
a b b
a
4)
(
)(
)
+
−
2
3
2
3
3
4
3
4
.
m
n
m
n
390.
1)
(
)(
)
+
−
2
2
2
2
;
c
d
c
d
3)
(
)(
)
−
+
4
3
3
4
;
x
y
y
x
2)
(
)(
)
+
−
2
3
2
3
;
a
b
a
b
4)
(
)(
)
−
+
3
3
3
3
.
m
n
m
n
391.
1)
(
)(
)
+
−
2
3
2
3
3
4
3
4
;
a
b
a
b
      3)
(
)(
)
+
−
3
4
4
3
0,2
0,5
0,5
0,2
;
t
p
p
t
2)
(
)(
)
−
+
4
2
2
4
2
5
5
2
;
m
n
n
m
   4)
(
)(
)
−
+
2
2
2
2
1,2
0,3
1,2
0,3
.
a
b
a
b
392.
  1)
(
)(
)
−
+
2
3
3
2
3
1
1
3
4
2
2
4
;
a
b
b
a
    3)
(
)(
)
+
−
2
2
1
1
3
3
0,5
0,5
;
q
p
q
p
2)
(
)(
)
−
+
4
5
4
5
2
4
2
4
3
5
3
5
;
x
y
x
y
  4)
(
)(
)
−
+
2
2
3
3
4
4
1,5
1,5
.
c
b
b
c
393.
1)
(
)(
)
−
+
2
2
2
2
3
4
3
4
;
x y
xy
x y
xy
    3)
(
)(
)
+
−
2 3
2 3
7
7
;
ab x y
ab x y
2)
(
)(
)
+
−
2
2
2
2
5
2
5
2
;
ab
a b
ab
a b       4)
(
)(
)
−
+
3
3
4
4
.
ab
xy ab
xy
394.
  1)
(
)(
)
(
)
+
−
+
2
3
3
9
;
x
x
x
3)
(
)
(
)(
)
+
+
−
2
2
4
2
2
;
x
y
x y
x y
2)
(
)
(
)(
)
+
+
−
2
1
1
1 ;
x
x
x
4)
(
)(
)
(
)
−
+
+
2
2
3
2
3
2
9
4
.
a
b
a
b
a
b
Qšsqasha  kóbeytiw  formulasšnan  paydalanšp,  esapla…  (395—396):
395.
1) 48 52;
⋅
2)
68 72;
⋅
        3) 43 37;
⋅
        4) 47 53.
⋅

118
396.
1)
⋅
27 33;
2)
44 36;
⋅
        3)
84 76;
⋅
          4) 201 199.
⋅
397.
Ápiwayšlastšrš…:
1)
(
) (
)(
)
−
− +
−
2
3
3 3
;
c
c
c
2)
(
) (
)(
)
+
−
+
−
2
2
2 2
;
a
a
a
3)
(
)(
) (
)
+
−
+
+
2
2
3
2
3
2
3
;
x
y
x
y
x
y
4)
(
)(
) (
)
−
+
−
−
2
3
4
3
4
3
4
;
a
b
a
b
a
b
5)
(
)(
)
− −
+ +
+
2
2
;
b a a b
a
b
6)
(
)(
)
−
− − +
2
2 .
b a
a b
b
398.
A…latpanš…  mánisin  tabš…:
1)
(
) (
)(
)
−
+
+
−
+
= −
2
4
3
3
3 , bunda
2,4;
m
m
m
m
m
2)
(
)
(
)(
)
+
−
−
−
+
= −
2
3
4
10
4 4
, bunda
0,1;
x
x
x
x
x
3)
(
)(
) (
) (
)(
)
−
+ −
−
−
−
+
= −
2
1
2
2
7
5
5
7 7
, bunda
;
k
k
k
k
k
k
4)
(
) (
)(
) (
)(
)
+
+
−
+
−
+
−
= −
2
1
5
3
3 3
2
2
4 , bunda
.
a
a
a
a
a
a
399.
Te…lemeni  sheshi…:
1)
(
)
(
)(
)
+
−
−
+ =
2
2
3
4
1
1
49;
x
x
x
2)
(
) (
)(
)
+
−
−
+
=
2
3
4
3
1 1 3
49;
x
x
x
3)
+
−
−
=
3
2
2
9
18 0;
x
x
x
4)
−
−
+
=
3
2
3
4
12 0.
y
y
y
400.
Kvadrattš…  eki  qarama-qarsš  tárepini…  hárbiri  8  sm  ge
uzaytšldš,  al  qal®an  eki  tárepi  bolsa  sonsha  qšsqartšldš.
Figuranš…  maydanš  qalay  ózgerdi?
401.
  Esapla…: 
⋅
− ⋅
⋅
⋅
4
3
5 0,128 5 0,628 5 .
125 0,25

119
Kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jiklewdi…
birneshe  usšllaršn  qollanšw
Kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jiklewde  geyde  bir  emes,  al  bir-
neshe  usšllar  qollanšladš.  Mšsallar  keltiremiz:
1) a
3
− a  kópa®zalšsšn  kóbeytiwshilerge  jikle…:
 
(
)
(
) (
)
3
2
1
1
1 .
a
a a a
a a
a
− =
− =
−
+
 
Bul  jerde  eki  usšldan  paydalanšl®an:  ulšwma  kóbeytiwshini  qawsšr-
madan  sšrtqa  shš®aršw  hám  kvadratlar  ayšrmasšnš…  formulasšn
qollanšw.
2)  (a
2 
+1)
2
− 4a
2
  kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jikle…:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
) (
)(
)
(
) (
)
+
−
=
+
−
=
+ −
+ +
=
=
+ −
+ +
=
−
+
+
+ =
=
−
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
1
2
1
1
1 .
a
a
a
a
a
a a
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
Bul  jerde  qosšlšwshšlar  ulšwma  kóbeytiwshige  iye  bolma®anlš®š
sebepli,  dáslep  kvadratlar  ayšrmasš  formulasšnan  paydalanšldš,
so…šnan  qosšndš  hám  ayšrmanš…  kvadratlaršnš…  formulalaršnan
paydalanšldš.  Jáne  bir  mšsal  sheship  kóreyik:
      3)   
 
(
)
(
)
(
)(
) (
) (
)(
)
−
+
+
=
−
+
+
=
=
−
+
+
+
=
+
− +
2
2
2
2
4
4
2
4
4
2
2
2
2 2
2
2
2 .
x
y
x
y
x
y
x
y
x y
x y
x y
x y
x y
Bira®zalšlar  ulšwma  kóbeytiwshige  iye  bolma®anš  hám  qanday
da  bir  formulanš  qollanšw  múmkin  bolma®anš  ushšn,  bul  jerde
dáslep  gruppalaw  usšlšnan  paydalanšldš,  al  so…šnan  kvadratlar
ayšrmasš  formulasš  qollanšldš.
Kórip  shš®šl®an  bul  mšsallar  kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge
jiklewge  tiyisli  tapsšrmalardš  oršnlawda  tómendegi  tártipke
ámel  etiwdi…  paydalš  ekenligin  kórsetedi:
1)  ulšwma  kóbeytiwshini  (eger  ol  bar  bolsa)  qawsšrma
sšrtšna  shš®aršw;
23-

120
2)  kópa®zalšnš  qšsqasha  kóbeytiw  formulalarš  boyšnsha
kóbeytiwshilerge  jiklewge  uršnšp  kóriw;
3)  eger  aldšn®š  usšllar  maqsetke  muwapšq  bolmasa,
gruppalaw  usšlšn  qollanšw®a  háreket  etiw.
Másele.
  Te…likti  dálille…:
    
(
)
(
)
3
3
2
2
.
a
b
a b a
ab b
+
=
+
−
+
               
(1)
   
Te…likti…  o…  tárepindegi  qawsšrmalardš  ashamšz:
(
)
(
)
2
2
3
2
2
2
2
3
3
3
.
a b a
ab b
a
a b ab
a b ab
b
a
b
+
−
+
=
−
+
+
−
+
=
+
Te…likti… o… tárepi shep tárepine te… bolšp shšqtš, ya®nšy (1) te…lik
dálillendi.
Tap  usš  sšyaqlš
(
)
(
)
3
3
2
2
a
b
a b a
ab b
−
=
−
+
+
                               
(2)
te…ligini…  duršslš®š  da  dálillendi.
(1)  hám  (2)  te…likler  sáykes  túrde  kublardš…  qosšndšsš
hám  kublardš…  ayšrmasšnš…  formulalarš  dep  ataladš.  Bul
formulalar  da  kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jiklewde  qolla-
nšladš.
Máselen:
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
+
= +
= +
−
+
−
=
−
=
−
=
−
+
+
3
3
3
2
3
4
3
3
3
3
2
2
1) 27
3
3
9 3
;
2)
8
8
2
2
2
4
.
b
b
b
b b
x
xy
x x
y
x x
y
x x
y x
xy
y
402.
Esapla…:
1)
−
2
2
47
37 ;
2)
−
2
2
54
44 ;
3)
−
2
2
50,7
50,6 ;
4)
−
2
2
29,4
29,3 .
403.
 
(Awšzeki.)  Kóbeytiwshilerge  jikle…:
1)
−
2
36
;
x
2)
−
2
25;
a
3)
−
2
1;
y
4) −
2
1
.
b
S h š n š ® š w l a r

121
404.
  1)
(
)
+
=
+
2
2
2
2
4 ;
a
b
a
b
2) 
(
)
−
=
−
2
2
2
2
3
4
9
a
b
a
b .
te…likleri  haqqšnda  ne  ayta  alasšz?
a)  olar  qaysš  a  hám  b  larda  duršs,  qaysšlarda  naduršs?
b)  qálegen  a  hám  b  lar  ushšn  olardš…  duršs  bolatu®šnlš®šn
taba  alasšz  ba?
Kóbeytiwshilerge  jikle…  (405—416):
405.
  1)
−
2
25
9;
x
    2)
−
2
4
9;
a
      3)
−
2
2
64
36 ;
y
x   4)
−
2
2
81
16 .
a
b
406.
  1)
−
2 2
9;
c d
2)
−
2 2
16;
a b
  3)
−
2
2
4
9 ;
a
b
4)
−
2
2
16
25 .
x
y
407.
1)
−
2
2
1
16
9
25
;
y
x
      3)
−
2
2
0,25
49 ;
a
b
2)
−
2
2
4
1
9
16
;
a
b
      4)
−
2
2
0,09
16 .
x
y
408.
1)
−
2 2
36
1;
x y
   2)
−
2 4
16;
x y
  3)
−
6
4
81
49 ;
a
b    4)
−
2
6
25
9 .
a
b
409.
1)
−
4
4
;
a
b
2)
−
4
8
;
a
b
3)
−
4
16;
a
    4)
−
4
81.
b
410.
1)
(
)
+
−
2
2
;
a b
c
3)
(
)
+
−
2
2
2
9 ;
a
b
a
2)
(
)
−
−
2
2
;
m n
k
4)
(
)
−
−
2
2
3
4 .
x y
y
411.
1)
(
) (
)
+
−
−
2
2
;
a b
a c
3)
(
) (
)
+
−
+
2
2
2
2
;
a b
b a
2)
(
) (
)
+
− +
2
2
;
a b
b c
4)
(
) (
)
−
−
+
2
2
3
3
.
a
b
a b
412.
1)
−
+
2
9
6
1;
a
a
3)
+
+
2
36
12
1;
b
b
2) +
+
2
1 2
;
c c
4)
2
81 18
.
x x
−
+
413.
1)
+
+
2
9
24
16;
x
x
3)
+
+
2
2
36
12
;
m
mn n
2)
−
+
2
100 60
9 ;
a
a
4)
+
+
2
2
10
25 .
a
ab
b
414.
1)
+
+
4
2
2
2
;
x
x y y
3)
+
+
4
2 3
6
4
12
9 ;
c
c b
b
2)
−
+
4
2
2
2
;
p
p q q
4)
+
+
6
3
2
25
30
9 .
a
a b
b
415.
1)
−
+
4
2
8
16;
a
a
3)
−
+
4
2
2
25
10
;
a
a b b
2)
−
+
4
2
18
81;
b
b
4)
−
+
2 2
4 4
16 8
.
a b
a b

122
416.
1)
− −
−
2
2
1;
a
a
3) −
+
−
2
2
2
8
8 ;
a
ab
b
2)
− +
−
2
9 6
;
b b
4)
−
−
−
2
2
12
3
12 .
ab
a
b
417.
A…latpanš…  san  mánisin  tabš…:
1)
−
+
=
=
2
2
5
10
5 , bunda
142,
42;
m
mn
n
m
n
2)
+
+
=
=
2
2
6
12
6 , bunda
56,
44;
m
mn
n
m
n
3)
−
+
−
=
=
3
2
2
1
9
36
4
, bunda
4,
48;
a
a b
ab
a
b
4) –
−
−
= −
=
3
2
2
1
4
64
8
, bunda
6,
84.
a
a b
ab
a
b
418.
Te…lemeni  sheshi…:
1)
2
36 0;
x
−
=
3)
2
4
4
1 0;
x
x
+
+ =
2)
−
=
2
1
4
0;
x
4)
2
25 10
0
x x
−
+
=
419.
Esapla…:
1)
2
2
101
202 81 81 ;
−
⋅ +
3)
+ ⋅
⋅ +
−
2
2
2
2
48
2 48 18 18
48
18
;
2)
2
2
37
126 37 63 ;
+
⋅
+
4)
−
+ ⋅
⋅
+
2
2
2
2
85
17
85
2 85 17 17
.
420.
Túsirip  qaldšršl®an  úsha®zalšnš  tabš…,  nátiyjede  te…lik
oršnlansšn:
1)
(
) ( )
+
=
+
3
3
... ;
x
y
x y
3)
(
) ( )
−
=
−
3
3
... ;
x
y
x y
2)
(
) (
) ( )
+
=
+
3
... ;
x y
x y
4)
(
) (
) ( )
−
=
−
3
... .
x y
x y
421.
Kóbeytiwshilerge  jikle…:
1)
−
3
3
;
x
y
  3)
+
3
27;
x
  5)
−
3
64;
n
  7) −
3
1
;
p
2)
+
3
3
;
c
d
  4)
−
3
27;
a
  6)
+
3
1;
a
  8)
−
3
125
.
b
Kóbeytiwshilerge  jikle…  (422—424):
422.
1)
3
27
8;
m −
2)
3
64 125 ;
y
−
    3)
+
3
1
8
125
;
b       4)
+
3
1
27
64
.
y
423.
1)
3
8
1;
a +
3)
+
3
6
1
27
64 ;
a
b
2)
3
1 27 ;
b
+
4)
+
6
3
1
8
125 .
a
b

123
424.
1)
9
3
;
a
b
−
        2)
6
6
;
a
b
−
      3)
6
729;
x −
        4)
6
64
.
y
−
A…latpanš  qšsqasha  kóbeytiw  formulalaršnan  paydalanšp,
ekia®zalš  túrinde  jazš…  (425—426):
425.
1)
(
)
(
)
2
5
5
25 ;
z
z
z
+
−
+
  3)
(
)
(
)
2
2
2
3
4
6
9
;
x
y
x
xy
y
+
−
+
2)
(
)
(
)
2
2
2
4 ;
y
y
y
+
−
+
       4)
(
)
(
)
2
2
4
5
16
20
25
.
c
d
c
cd
d
−
+
+
426.
1)



10
1 100
10
1
2
4
2
a
a
a
-
+
+ ;
2)
(
) (
)
2 2
4 4
3 2
2
5
5
25
;
a b
a a b
a b
a
−
+
+
3)
( ) (
)
−
+
+
2
2
1
1
1
5
25
5
;
m n
m
mn n
4)
(
) (
)
−
+
+
2
2
1
1
1
1
1
2
3
4
6
9
.
x
y
x
xy
y
427.
Kóbeytiwshilerge  jikle…:
1)
(
)
(
)
3
3
2
2
8
27
2 4
9
;
a
b
a a
b
−
−
−
     3)
(
)
(
)
2
3
3
;
a
b
a b
+
+
+
2)
(
)
(
)
3
3
2
2
64
125
5 16
25
;
a
b
b
a
b
+
+
−
        4)
(
)
(
)
2
3
3
.
a
b
a b
−
+
−
428.
Esapla…:
1)
−
+
⋅
+
3
3
2
2
258
147
258
258 147 147
;
         2)
−
⋅
+
+
2
2
3
3
17,98
17,98 32, 02 32, 02
17,98
32, 02
.
429.
Qawsšrmalar  ishine  sonday  a®zalšlardš  jazš…,  kelip  shšqqan
a…latpa  x  tš…  barlšq  mánislerinde  de  ózgermeytu®šn  bolsšn:
1)
(
)
(
)
(
)
−
+
+
−
−
2
2
2
4
7
3
6
... ... ;
x
x
2)
(
)
(
)
(
)
−
−
−
−
+
2
2
2
17
2
15
6
... ... .
x
x
430.
Te…lemeni  sheshi…:
1)
(
)
(
)
(
) (
)
+
−
+
−
−
+
=
2
2
2
4
3
3
26;
x
x
x
x x
x
2)
(
)
(
)
(
) (
)
2
3
3
9
4
4
21;
x
x
x
x x
x
−
+
+
−
+
−
=
3)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1 4
2
1 4 2
3
23;
x
x
x
x x
−
+
+ −
−
=
4)
(
)
(
)
(
)
2
2
4
1 16
4
1 16 4
5
17.
x
x
x
x x
+
−
+ −
−
=

124
Kóbeytiwshilerge  jikle…  (431—434):
431.
  1)
3
3
3;
a −
2)
3
;
y
y
−
      3)
3
3
;
m n mn
−
  4)
3
2
2
2
.
a
ab
−
432.
1)
4 2
2 4
;
x y
x y
−
3)
6 2
8 72
;
x y
−
2)
2 2
2 2
7
63
;
c d
c b
−
4)
4
2
32
2
.
a b
a b
−
433.
1)
2
2
2
4
2 ;
a
ab
b
+
+
4)
2
8
16
8;
p
p
−
+
2)
2
2
2
2
4
;
m
n
mn
+
−
5)
2 2
27
18
3;
a b
ab
−
+
3)
2
2
5
10
5 ;
x
xy
y
+
+
6)
5
4
3
12
24
12
.
m n
m n
m n
+
+
434.
1)
3
3
2
2 ;
c
d
+
3)
−
3
4
2
16 ;
cd
c
5)
−
2
2 3
7
56
;
x
x y
2)
3
54
16;
x −
4)
−
2
5
1
8
;
a
a
6)
2
5
4
32
.
a b
a b
+
435.
Esapla…:
2
2
19,7
8,3
28 8,6.
−
+
⋅
436.
1)  Eger  n  —  taq  san  bolsa,  (n+2)
2
−
1  a…latpasšnš…  8  ge;
2)  qálegen  natural  san  n  da  n
3
+ 12n
2
+ 23n  a…latpasšnš…  6
®a  bóliniwin  dálille….
Kóbeytiwshilerge  jikle…  (437—438):  (437—438):
437.
1)
(
)
2
2
2
2
;
a
ab b
c
+
+
−
3)
2
2
1
2
;
a
ab b
−
−
−
2)
(
)
2
2
1
2
;
x
xy y
−
−
+
4)
(
)
2
2
4
2
.
x
xy y
+ − −
−
438.
  1)
−
+ +
2
2
;
a
b
a b   3) − −
+
2
2
;
x y x
y
    5)
−
+
−
5
3
2
1;
m
m
m
2)
2
2
;
a
b
a b
−
− −
  4)
3
2
1;
x
x
x
+
− −
  6)
4
3
1.
x
x
x
+
+ +
439.
  27
2
−
14
2
 
sanš  13  ke  bólinetu®šnšn  dálille….
440.
  n  qálegen  pútin  san  bol®anda  (7n − 2)
2
− (2n − 7)
2
  a…latpasš-
nš…  mánisi  5  ke  bólinetu®šnšn,  9  ®a  bólinetu®šnšn  dálille….
441.
Te…lemeni  sheshi…:
1)
(
)
(
)
(
)
−
+
+ −
−
=
−
2
3
3
3
9
3
17
12;
x
x
x
x
x
2)
(
)
(
) (
) (
)
2
5
4 2
2
1
1
0.
x
x x
x
x x
x
−
−
+
+
+
−
+ =

125
442.
Motorlš  qayšqtš…  a®šs  boyšnsha  tezligi  18  km/saat,  al  a®šsqa
qarsš tezligi 14 km/saat. Dárya a®šmšnš… tezligin hám qayšqtš…
aqpay  tur®an  suwda®š  tezligin  tabš….
Ózi…izdi  tekserip  kóri…!
1.
  A…latpanš  standart  kópa®zalš  kórinisinde  a…latš…:
−
+
−
+ +
2
(
3)
(
3)(
3) 6 .
a
a
a
a
2.
  Kóbeytiwshilerge  jikle…:
1)
− 2 ;
xy
y
      2)
−
2
16
81;
a
         3)
−
2
3
3
6 ;
x
x
4)
−
+
2
10
25;
x
x
   5)
− +
−
3(
1)
(
1);
x
y x
    6)
−
+
2
2
2
4
2 .
a
ab
b
3.
  Kópa®zalšnš  kóbeytiwshilerge  jikle…  hám  onš…
   
=
= −
1
3
1,
a
b
 
bol®anda®š  san  mánisin  tabš…:
                    
−
+
−
2
3
3
9 .
a
ab
a
b
I V   b a p q a   t i y i s l i   s h š n š ® š w l a r
Kóbeytiwshilerge  jikle…:  (443—447):
443.
1)
(
) (
)
+
+
+
2
6
;
a b
a b
      3)
(
) (
)
− +
−
2
;
a b
b a
2)
(
) (
)
−
+
−
2
4
3
;
x y
x y
      4)
(
) (
)
−
−
−
2
.
a b
b a
444.
1)
(
)(
) (
)
+
− + +
2
3
;
x y x y
x y
      3)
(
) (
)(
)
−
−
+
−
2
5
;
a b
a b b a
2)
(
)
(
)
+
−
+
3
2
;
x y
x x y
      4)
(
) (
)
−
−
−
2
2
.
a a b
b a
445.
1)
(
)
(
)
(
)
(
)
+
+
+
−
+
2
2
12
6
12
6 ;
y z
x
x
y z
x
x
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
+
−
+
2
2
12
6
12
6 ;
y z
x
x
y z
x
x
3)
(
)
(
)
(
)
− +
− −
−
2
2
2
6
3
7 6
3
4 6
3 ;
x
x x
y x
4)
(
)
(
) (
)
−
−
−
−
−
2 8
4
3 8
4
8
4 .
x x
y
y x
y
x
y

126
446.
1)
−
+
−
2
18
27
14
21 ;
a
ab
ac
bc
2)
+
+
+
2
10
10
5
5 ;
x
xy
x
y
3)
+
−
−
2
35
24
20
42 ;
ax
xy
ay
x
4)
+
−
−
2
2
2
3
48
32
15
10 .
xz
xy
yz
y
447.
1)
−
−
+
2
2
3
2
16
5
10
32
;
ab
b c
c
ac
2)
2
2
3
2
6
15
14
35
;
mnk
m k
n k
mn
+
−
−
3)
−
+
−
+
2
28
35
10
8 ;
ac
c
cx
ax
4)
−
−
+
+
2
24
15
40
9 .
bx
c
bc
cx
448.
A…latpanš  ápiwayšlastšrš…:
1)
(
)
(
)
−
−
−
+
2
2
2
1
2 2
3
17;
x
x
2)
(
)
(
)
+
−
−
−
2
2
2
3
2
2
1
7 ;
x
x
x
3)
(
) (
) (
)
−
−
+
−
+
2
2
24
7
2
5
3 5
1 ;
y
y
y
y
4)
(
) (
) (
)
+
− +
−
−
2
2
3
1 2
3
2
3
10 .
y
y
y
y
449.
  Eki  izbe-iz  natural  san  kvadratlarš  ayšrmasšnš…  moduli  taq
san  bolatu®šnlš®šn  dálille….
450.
Bólshekti  qšsqartš…:
1)
−
−
2
2
2
2
53
27
79
51
;
3)
− ⋅
⋅
+
−
2
2
2
2
49
2 49 29 29
49
19
;
2)
−
−
2
2
2
2
38
17
47
19
;
4)
2
2
2
2
47
3
.
27
2 27 13 13
−
+ ⋅ ⋅ +
451.
x  hám  y  ti…  qálegen  mánislerinde  te…lik  duršs  bolatu®šnlš®šn
dálille….
 
(
)
(
)
(
)(
)
+
−
=
−
+
2
2
2
x y x
y
x y x y
.
1)  Sha…araqta®š  6  qšzdš…  hárbirini…  a®alarš  bar.  Usš
sha…araqta  neshe  perzent  bar?
2)  Kamaldš…  a®alarš  qansha  bolsa,  apalarš  da  sonsha.
Úlken  apasšnš…  inilerini…  sanš  si…lilerini…  sanšnan  2  ese
kóp.  Usš  sha…araqta  neshe  ul,  neshe  qšz  bar?
¹ 8

127
IV  bapqa  tiyisli  sšnaq  shšnš®šwlarš  —  testler
1.
Ulšwma  kóbeytiwshini  qawsšrma  sšrtšna  shš®arš…:
−
3 2
2 3
24
30
.
a b
a b
A)
−
2 2
6
(4
5 );
a b
a
b
B)
−
2
2
6 (4
5
);
ab a b
ab
C)
−
2
2
3
6 (4
5 );
a
ab
b
D)
2
3
2
6 (4
5 ).
b
a
a
−
2.
Kóbeytiwshilerge  jikle…: 
− +
− −
−
2
.
5(
)
(
) 3(
)
a b a a b
b a
A)
−
+
2
(
)(
2);
a b a
B)
−
−
2
(
)(
8);
a b a
C)
−
−
2
(
)(8
);
a b
a
D)
2
(
)(
8).
a b a
−
+
3.
Kóbeytiwshilerge  jikle…:
 
−
+
+
− −
4 (
) 4
7 (
).
a x y
az
b y x z
A)
(
)(4
7 );
x y z
a
b
− +
−
B) (y
−
x
−
z)(7b + 4a);
C)
− −
−
(
)(4
7 );
x y z
a
b
D)
(
)(4
7 ).
x y z
a
b
− − +
+
4.
Esapla…:
 
−
⋅
−
⋅
2
16,9 16,9 3,7 16,9 3,2.
A) 169;
  B) 1,69;
     C) 16,9;  
D)
−
1,69.
5.
Kóbeytiwshilerge  jikle…:
 
+
−
−
3
3 .
ax bx
ay
by
A)
+
+
(
)(
3 );
a b x
y
B)
−
+
(
)(
3 );
a b x
y
C)
−
−
(
)(
3 );
a b x
y
D)
(
)(
3 ).
a b x
y
+
−
6.
Kóbeytiwshilerge  jikle…:
 
−
−
+
7 (5
3 ) 10
6 .
a a
b
a
b
A)
+
−
(5
3 )(7
2);
a
b a
B)
−
+
(3
5 )(7
2);
b
a a
C) (5
3 )(7
2);
a
b a
−
−
D) (5
3 )(7
2).
a
b a
−
+
7.
Te…lemeni  sheshi…:
 
+
−
−
=
2
2
(3
2)
(3
4)
132.
x
x
A) 4;
B) 3;
C) −5;
D) −4.
8.
 
Kóbeytiwshilerge  jikle…:
 
−
3
3
8
27 .
a
b
A)
−
+
2
(2
3 ) (2
3 );
a
b
a
b
B)
+
⋅
−
2
(2
3 ) (2
3 );
a
b
a
b
C)
−
3
3
(2 ) (3 ) ;
a
b
D)
2
2
(2
3 )(4
6
9 ).
a
b
a
ab
b
−
+
+
9.
 
Esapla…:
 
+
−
⋅
+
3
3
2
2
(53
47 ) : (53
53 47 47 ).
A) 6;
B) 100;
C) 600;
D)
2
2
53
47 .
+

128

T a r i y x š y   m a ® l š w m a t l a r
Al-Kashiydi…  «Arifmetika  gilti»  kitabšnda  ekia®zalšnš  qálegen
natural  dárejege  kóteriw  qa®šydalarš  berilgen.
Algebralšq  formulalardš  dálillewde,  te…lemelerdi  sheshiwde
geometriyalšq  pikirlerden  paydalanšw  áyyemgi  Qštay,  Greciya,
Hindstan,  Orta  Aziya  matematiklerini…  dóretpelerinde  ushšraydš.
O l a r
2
2
2
(
)
2
,
a b
a
ab b
+
=
+
+
2
2
2
(
)
2
,
a b
a
ab b
−
=
−
+
a
2
− b
2
=
=(a − b) (a + b) (yamasa
2
2
2
(
) (
) 2 (
)
a
b
a b
b a b
−
= −
+
−
) usš  sšyaqlš
te…le-melerdi  geometriyalšq  usšlda  dálillegen.  Máselen, 
2
2
a
b
−
=
(
)(
)
a b a b
= −
+
formulanš  usš  usšlda  dálillewge  erisken:  tárepleri  a
®a  te…  kvadrattan  tárepi  b  ®a  te…  kvadrattš  qšrqšp  alsa,  qal®an
figuranš…  maydanš: 
(
)
(
) (
)(
)
a a b b a b
a b a b
− +
− = −
+
  ®a  yaki  báribir,
2
(
) 2 (
)
a b
b a b
−
+
−
  ®a  te…  bolšwš  21-súwrette  anšq  kórinip  turšptš.
Demek, 
2
2
(
)(
)
a
b
a b a b
−
= −
+
  formula  duršs.
Tuwršmúyeshli  úshmúyeshlikti…  táreplerin  tolšq  (yaki  racional)
sanlarda  a…latšw  ushšn  Qštay  matematikleri  bizi…  eramšz®a  she-
kemgi  birinshi  mš…  jšllardan-aq
−
+




+
=








2
2
2
2
2
2
2
2
2
( )
p
q
p
q
pq
te…likten  paydalan®an.
a− b
a−
b
a−
b
a
b
21-súwret.

129