SH. A. Alimov, O. R. Xolmuhamedov, M. A. Mirzaahmedov

 
 

ALGEBRALÍQ BÓLSHEKLER
Algebralšq bólshek. Bólsheklerdi qšsqartšw
1-másele.
  Katerdi…  aqpay  tur®an  suwda®š  tezligi  saatšna  a
kilometrge,  dárya  a®šsšnš…  tezligi  saatšna  b  kilometrge  te….
Katerdi…  dárya  a®šsš  boyšnsha  qoz®alšs  tezligi  onš…  dárya  a®šsšna
qarsš  qoz®alšs  tezliginen  neshe  ese  artšq?
  Katerdi…  dárya  a®šsš  boyšnsha  tezligi  saatšna  (a+b)
kilometrge  te…;  a®šsqa  qarsš  tezligi  saatšna  (a−b)  kilometrge  te….
Sonlšqtan,  katerdi…  a®šs  boyšnsha  qoz®alšs  tezligi  a®šsqa  qarsš
qoz®alšs  tezliginen
a b
a b
+
−
ese  artšq  boladš. 
a b
a b
+
−
  a…latpasš  algebralšq  bólshek  dep  ataladš.  Bul  bólshekti…
alšmš  a+b,  al  bólimi  a
−
b.
Ulšwma,  alšmš  hám  bólimi  algebralšq  a…latpalar  bol®an
bólshek  algebralšq  bólshek  dep  ataladš.
Algebralšq  bólsheklerge  tiyisli  jáne  birneshe  mšsallar  keltiremiz:
(
)
(
)
+
−
+
−
2
;
;
;
.
x b c
a
a b
b
x y
c
y a c
Eger  algebralšq  bólshekke  kiriwshi  háriplerdi…  ornšna  qanday
da  bir  san  qoyšlsa,  onda  zárúrli  esaplawlar  oršnlan®annan  so…,  usš
algebralšq  bólshekti…  san  mánisi  payda  boladš.
Máselen,  a =10,  b = 8  bol®anda 
+
−
a b
a b
  algebralšq  bólshekti…
san  mánisi 
+
−
=
=
10 8 18
10 8
2
9
®a  te…  boladš.
V BAP
24-
9 — Algebra, 7- klass

130
a b
a b
+
−
  algebralšq  bólsheginde  a  hám  b  nš…  ornšna  óz  ara  te…
bolma®an  (a≠b)  qálegen  sanlardš  qoyšw  múmkin,  sebebi  a = b
bol®anda  bólshekti…  bólimi  nolge  aylanadš,  al  nolge  bóliw
múmkin  emes.
Bunnan  keyin  algebralšq  bólshekke  kiriwshi  háripler  ruqsat
etilgen  mánislerdi  ®ana,  ya®nšy  usš  bólshekti…  bólimi  nolge  te…
bolmaytu®šn  mánislerdi  ®ana  qabšl  etedi,  dep  shártlesemiz.
Máselen, 
(
)
−1
a
a a
  bólshegi  ushšn  tiyisli  mánisler  a  nš…  a = 0
hám  a =1  den  basqa  barlšq  mánisleri  boladš.
Bólshekti…  tiykar®š  qásiyetin  tómendegishe  jazšw
múmkin:
=
,
a ma
b mb
bul  jerde  b ≠ 0,  m ≠ 0.
Bul  qásiyet  bólshekti…  alšmš  hám  bólimi  birdey  algebralšq
a…latpa®a  kóbeytilse  yaki  bólinse,  o®an  te…  bólshek  kelip  shš®a-
tu®šnšn  bildiredi,  máselen:
(
)
+
⋅
⋅
+
=
=
=
⋅
3 3 5 15 ,
4 4 5 20
a b c
a b
b
bc
.
Bólshekti…  tiykar®š  qásiyetinen  paydalanšp,  algebralšq  bólshek-
ti  onš…  alšmšna  hám  bólimine  bir  waqštta  kiriwshi  ulšwma
kóbeytiwshige  qšsqartšw  múmkin,  máselen:
(
)
(
)
(
)
(
)
+
+
+
=
=
−
−
+
,
.
a b c
a b c
b c
c
b c
d
a b c
a b d
Bólsheklerdi  ápiwayšlastšršw  ushšn  dáslep  olardš…  alšmš  hám
bólimini…  ulšwma  kóbeytiwshisin  ajšratšp  alšw  kerek  ekenligine
tiyisli  mšsallar  keltiremiz.
2-másele.
  Bólsheklerdi  qšsqartš…:
1) 
2
2
12
;
4
a b
ab
2)
2
2
2
.
m
n
m
mn
−
+

131
 
2
2
sine  iye.  Bólshekti…  alšmšn  hám  bólimin  4ab  ®a  bólemiz:
⋅
=
=
⋅
2
2
12
4
3
3
.
4
4
a b
ab a
a
ab b
b
ab
2)   m
2
− n
2
  hám  m
2   
+ mn  kópa®zalšlarš  m
 
+ n  ulšwma  kóbey-
tiwshisine  iye,  sebebi  m
2  
− n
2  
= (m
 
+ n)(m
 
− n),  m
2 
+ mn
 
=
= m(m
 
+ n).  Bólshekti…  alšmšn  hám  bólimin  m
 
+ n  ge  bólemiz:
(
) (
)
(
)
+
−
−
−
=
=
+
+
2
2
2
.
m n
m n
m
n
m n
m
mn
m m n
m
 
Bólsheklerdi  qšsqartšw  ushšn  bul  bólsheklerdi…  alšmšn
hám  bólimin  olardš…  ulšwma  kóbeytiwshisine  bóliw  kerek.
Eger 
a
b
  bólshegini…  alšmš  yamasa  bólimindegi  belgi
qarama-qarsš  belgige  ózgertilse,  onda  berilgen  bólshekke
qarama-qarsš  bólshek  payda  bolatu®šnšn  aytšp  ótemiz:
−
= −
= −
−
;
.
a
a
a
a
b
b
b
b
Máselen, 
−
−
= −
= −
=
−
−
−
3
3 ;
7
7 1
1
1
.
a
a
a
a
a
a
3-másele.
 
(
)
(
)
−
−
2
3a y x
a x y
  bólshekti  qšsqartš…:
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
−
−
=
=
= −
−
−
2
2
3
3
3
3
.
a y x
a x y
a x y
a x y
a
a
452.
Alšmš  x  hám  y  sanlaršnš…  kóbeymesine,  al  bólimi  olardš…
qosšndšsšna  te…  algebralšq  bólshekti  jazš….
453.
Alšmš  p  hám  q  sanlaršnš…  ayšrmasšna,  al  bólimi  olardš…
kóbeymesine  te…  bol®an  algebralšq  bólshekti  jazš….
S h š n š ® š w l a r
  1) 12a b  hám  4ab   bira®zalšlarš  4ab  ulšwma  kóbeytiwshi-

132
454.
Alšmš  a  hám  b  sanlarš  kvadratlaršnš…  ayšrmasšna,  bólimi  usš
sanlardš…  ayšrmasšnš…  kvadratšna  te…  bol®an  algebralšq  ból-
shekti  jazš….
455.
Alšmš  c  hám  d  sanlarš  kublaršnš…  qosšndšsšna,  al  bólimi  usš
sanlardš… kóbeymesini… eki eselengenine te… bol®an algebralšq
bólshekti  jazš….
456.
Algebralšq  bólshekti…  san  mánisin  tabš…:
1)
=
1
3
5
, bunda
2 ;
a
a
4)
−
+
=
= −
2
, bunda
16,
3;
a b
a
b
a
b
2)
+
−
=
1
1
, bunda
1,5;
b
b
b
5)
+
−
=
=
2
2
5
5
, bunda
2,
8;
a b
a
b
a
b
3)
+
= −
2
1
2
, bunda
3;
a
a
a
        6)
−
−
=
= −
2
3
7
3
, bunda
3,
4.
ab
b
a
a
b
457.
  1) S  = vt 
formulasšnan
v
nš
;     2)
=
m
V
p
 
formulasšnan
V
nš
;
3)
= π
2
C
R
formulasšnan  R  dš;
4) P = 2 (a + b) 
formulasšnan  a  nš  tabš….
458.
Hárbir  júk  mashinasšna  a  tonnadan  kartoshka  júklew
múmkin  bolsa,  hárbirinde  p  kilogramnan  kartoshkasš  bol®an
n  qapshšq  kartoshkanš  tasšw  ushšn  neshe  júk  mashinasš  (x)
kerek  boladš?  x  tš  n = 90,  p = 50,  a = 1,5  bol®anda  tabš….
459.
Mashina saatšna ortasha c metr linoleum islep shš®aradš. Eger
mashina  kúnine  n  saattan  islese,  ol  a  metr  linoleumdš  neshe
kúnde islep shš®aradš? Izlenip atšr®an waqšttš t arqalš belgilep,
t 
nš
  c = 47,  a = 11280 
hám
  n = 16 
bol®anda  tabš….
460.
Berilgen  eki  bólshekti…  te…ligin  kórseti…:
1)
6
18
;
7
21
hám
  3)
2
2
;
3
3
a
a
hám
  5)
2
2
2
;
(
)
m n
m
n
m n
m n
−
−
+
+
hám
2)
3
27
;
5
45
−
−
hám
   4)
2
2
2
2
;
7
7
a
a b
b
ab
hám
   6)
2
3
(
3 )
.
a
b
a
b c
c
c
+
+
hám

133
Bólshekti  qšsqartš…  (461—463):
461.
1)
−
−
48 ;
56
2)
−
−
64 ;
80
3)
−121
55
;
4)
−
28
14
.
462.
1)
12
20
;
a
2)
2
3
;
c
c
3)
7
21
;
b
b
4)
4
;
8
ab
ac
   
5)
2
2
;
a
a
   
6)
3
5 .
x
x y
463.
1)
2
3
;
a
a
2)
3
7
;
b
b
3)
5
4
;
a
a
4)
6
4
.
b
b
Bólshekti  qšsqartš…  (464—474):
464.
1)
6
4
;
ab
a
3)
4
3
;
a b
ab
5)
4 2
3 3
12
18
;
a b
a b
2)
14
49
;
c
c
4)
2
3
3
9
;
a b
a
6)
3 2
3
25
125
.
a bc
ac
465.
1)
(
)
(
)
+
+
4
5
;
m n
m n
3)
(
)
(
) (
)
−
−
−
2
8
;
b m n
b m n
m n
 
5)
(
)
−
−
2
;
a b
b a
2)
(
)
(
)
−
−
7
5
;
a a b
a b
4)
(
)
(
) (
)
+
+
−
3
9
;
a a b
a a b
a b
 
6)
(
)
(
)
−
−
5
15
.
x y
y x
466.
 
1)
(
)
−
−
2
;
a b
a b
3)
(
)
−
−
2
;
m n
n m
 
5)
(
)
(
)
−
−
2
2
2
9
1
3
1
;
m x
m
x
2)
(
)
+
+
4
;
m n
m n
4)
(
)
−
−
2
2
3
;
3
2
x
y
y
x
 
6)
(
)
(
)
−
−
2
2
3
8
4
.
a b a b
a b b a
467.
1)
+
3
3
6
;
x
y
c
3)
+
−
2
2
4
4
;
a
b
a
b
 
5)
−
+
;
ac bc
ac bc
2)
−
8
4
4
;
a
m
n
4)
−
+
12
3
6
9
;
a
a
  6)
+
−
.
a ab
a ab
468.
1)
+
2
2
;
a
ab
a
3)
+
+
7
14
3
6
;
a
b
a
b
 
5)
−
−
3
6
12
6
;
a
b
b
a
2)
−
3
2
2
;
pq
p q pq
4)
−
−
2
2
2
2
;
m
mn
mn n
 
6)
−
−
2
2
2
2
.
x
xy
y
xy

134
469.
1)
−
−
2
2
12
30
30
12
;
x
xy
x
xy
2)
+
+
2
2
36
24
24
36
;
a
ab
a
ab
3)
−
−
3
2
2
3
3
3
3
;
m
m n
m n
m
4)
−
−
3
2
3 2
4
2
2
.
a
a b
a b
a b
470.
 
1)
−
+
2
2
;
a
b
a b
3)
−
−
2
2
9
4
2
3
;
c
x
c
x
5)
(
)
(
)
−
−
2
3
6
;
a a b
a b a
2)
−
−
2
2
;
a b
a
b
4)
−
−
2
25
5
;
x
x
6)
(
)
(
)
−
−
2
2
5
4
10
2
.
a c
a
c
471.
1)
−
−
2
8 3
9
64
;
c
c
3)
−
−
2
2
10
25
;
y
y
5)
−
−
2
2
4
4
;
b
c
b n c n
2)
−
+
2
100 49
7
10
;
b
b
4)
−
−
2
2
5
25
;
y y
y
6)
+
−
3
3
4
4
5
5
.
a b
ab
a
b
472.
1)
−
+
−
2
6
9
3
;
d
d
d
 
2)
+
+
+
2
7
14
49
;
b
b
b
 
3)
−
+
−
2
9 6
3
;
a a
a
   
4)
−
−
+
2
1 2
1 4
4
.
p
p
p
473.
1)
−
+
−
2
2
4
4
1
4
1
;
y
y
y
3)
−
+
−
2
2
2
2
3
6
3
6
6
;
a
ab
b
a
b
2)
−
−
+
2
2
16
1
16
8
1
;
a
a
a
4)
+
+
−
2
2
2
2
50
100
50
15
15
.
m
mn
n
m
n
474.
1)
(
)
−
−
2
2
1
1
;
a
a
3)
−
+
−
2
4
4
1
2 4
;
y
y
y
2)
(
)
−
−
2
;
m n
n m
4)
−
−
+
2
5 2
4
20
25
.
x
x
x
475.
Bólshekti  qšsqartš…:
1)
−
−
+
2
2
9
16
16 24
9
;
c
c
c
4)
−
+
+
3
3
2
36
12
36
;
c c
c
c
c
2)
−
+
−
2
2
2
2
16
24
9
9
16
;
x
xy
y
y
x
5)
−
−
+
3
3
2
25
49
49
70
25
;
b
b
b
b
b
3)
−
+
−
2
2
2
2
4
4
4
;
x
xy y
y
x
6)
−
+
−
+
2
2
4
12
9
2
3
.
b
bc
c
ab
ac

135
476.
 
Bólshekti  qšsqartš…:
1)
(
) (
)
−
+
+
−
5
2
2
4
3
2
128
2
8
32
4
;
a
a
a
a
a
a
3)
+
−
−
−
−
+
3
2
2
3
5
4
4
5
3
6
2
9
18
2
;
a
ab
a b
b
a
ab
a b
b
2)
(
)
(
)
+
+
+
− +
+
4
3
2
2
3
2
3
1 2
3
;
a
a
a
a
a
a
4)
+
−
−
+
−
−
2
2
2
3
2
2
2
3
3
3
3
3
6
6
6
6
.
ac
bc
ab
b
ac
bc
ab
b
Bólsheklerdi ulšwma bólimge keltiriw
Ápiwayš  bólsheklerdi  qosšwda  dáslep  bólshekler  ulšwma
bólimge  keltiriledi.  Máselen, 
1
3
7
,
,
4 25 10
  bólshekleri  ushšn  ulšwma
bólim  100  sanš  boladš,  bul  san  4,  25,  10  sanlaršnš…  e…  kishi
ulšwma  eseligi  bolšp  tabšladš.
1 - m á s e l e .
 
2
2
,
3
6
4
m
n
p
a b
ab
ac
hám
  algebralšq  bólsheklerin
ulšwma  bólimge  keltiri….
   Berilgen  bólsheklerdi…  ulšwma  bólimi  hárbir  bólshekti…
bólimine  bóliniwi  kerek.  Demek,  ol  3  ke,  6  ®a,  4  ke,  ya®nšy
12  ge,  a
2
  qa,  a  ®a  hám  a  ®a,  ya®nšy  a
2
  qa;  b  ®a  hám  b
2 
qa,
ya®nšy  b
2
  qa;  c  ®a  bóliniwi  kerek.
Solay  etip,  bólsheklerdi…  ulšwma  bólimi  12,  a
2
,  b
2
  hám  c
kóbeytiwshilerin  óz  ishine  alšwš  kerek.  Ulšwma  bólim  sšpatšnda
12  a
2
b
2
c  kóbeymesin  qabšl  etiw  lazšm  boladš.  Bul  ulšwma
bólimdi  birinshi  bólshekti…  bólimine  bólip,  onš…  alšmš  hám
bólimin  kóbeytiw  kerek  bol®an  bira®zalšnš  tabamšz.  Bul  bira®zalš
berilgen  bólshekti…  qosšmsha  kóbeytiwshisi  dep  ataladš.  Birinshi
bólshek  ushšn  bunday  bira®zalš  4bc  ®a  te….  Tap  sonday  jol
menen  ekinshi  hám  úshinshi  bólshekler  ushšn  qosšmsha
kóbeytiwshilerdi  tabamšz:  2ac  hám  3ab
2
.
25-
Algebralšq  bólsheklerdi…  ulšwma  bólimi  usš  ból-
shekler  bólimlerini…  e…  kishi  ulšwma  eseligi  boladš.
Bólsheklerdi  ulšwma  bólimge  keltiriwde  bólshekti…
tiykar®š  qásiyetinen  paydalanšladš.

136
Birinshi,  ekinshi  hám  úshinshi  bólsheklerdi…  alšmš  hám
bólimin  sáykes  túrde  4bc,  2ac  hám  3ab
2
  ®a  kóbeytip,
olardš  12a
2
b
2
c  ulšwma  bólimge  keltiremiz:
=
=
=
2
2
2 2
2
2 2
2 2
3
4
2
4
3
12
6
12
12
,
,
.
p
pab
m
mbc
n
nac
ac
a b
a b c
ab
a b c
a b c
 
2 - m á s e l e .
  Bólsheklerdi  ulšwma  bólimge  keltiri…:
−
−
+
+
+
2
2
2
2
2
2
;
;
.
2
4
2
3
6
3
a
b
c
x
y
x
xy
y
x
xy
y
 
Bólsheklerdi…  bólimin  kóbeytiwshilerge  jikleymiz:
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
=
−
+
−
+
=
−
+
=
−
+
+
=
+
+
=
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
2
4
2
2
2
2
;
3
6
3
3
2
3
.
x
y
x y x y
x
xy
y
x
xy y
x y
x
xy
y
x
xy y
x y
Ulšwma  bólim  berilgen  bólsheklerdi…  hárbirini…  bólimine  bólini-
wi  kerek.
Ulšwma  bólim  birinshi  bólshekti…  bólimine  bóliniwi  ushšn
onš…  quramšnda  (x − y)  (x + y)  kóbeymesi  bolšwš  kerek.
So…šnan,  ulšwma  bólim  ekinshi  bólshekti…  bólimine  bóliniwi
kerek  hám  sonlšqtan  da  onda  2(x − y)
2
  kóbeytiwshisi  bolšwš  ke-
rek.  Demek,  birinshi  bólshekti…  bólimine  2(x − y)  kóbeytiwshisin
jazšp  qoyšw  kerek,  ya®nšy  ulšwma  bólimni…  quramšnda
2(x − y)
2
(x + y)
kóbeymesi  bolšwš  zárúr.
Ulšwma  bólim  úshinshi  bólshekti…  3(x + y)
2
  bólimine  bóliniwi
ushšn  payda  etilgen  kóbeymege  3(x + y)  kóbeytiwshisin  jazšp
qoyšw  kerek.  Demek,  úsh  bólshekti…  ulšwma  bólimi
6(x
−
y)
2
(x + y)
2
qa  te…  boladš.
Bólsheklerdi  ulšwma  bólimge  keltiriw  ushšn  olardš…  alšmšn
hám  bólimin  qosšmsha  kóbeytiwshilerge  kóbeytiw  kerek,  olar
bolsa  ulšwma  bólimdi  hárbir  bólshekti…  bólimine  bóliw  jolš

137
menen  tabšladš;  berilgen  bólshekler  ushšn  olar  sáykes  túrde
tómendegilerge  te…:
6(x
−
y)(x + y),  3(x + y)
2
,  2(x
−
y)
2
.
Demek,  berilgen  bólsheklerdi  tómendegishe  jazšw  múmkin:
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
−
+
+
=
=
−
−
+
−
+
−
+
−
=
+
+
−
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
3
;
;
2
4
2
6
6
2
3
6
3
6
.
a x y
x y
b x y
a
b
x
y
x
xy
y
x y
x y
x y
x y
c x y
c
x
xy
y
x y
x y
Algebralšq  bólsheklerdi  ulšwma  bólimge  keltiriw  ushšn:
1)  berilgen  bólsheklerdi…  ulšwma  bólimin  tabšw;
2)  hárbir  bólshek  ushšn  qosšmsha  kóbeytiwshini  tabšw;
3)  hárbir  bólshekti…  alšmšn  onš…  qosšmsha  kóbeytiw-
shisine  kóbeytiw;
4)  hárbir  bólshekti  tabšl®an  alšm  hám  ulšwma  bólim
menen  jazšw  kerek.
Tómendegi  shšnš®šwlarda®š  bólsheklerdi  ulšwma  bólimge  kel-
tiri…  (477—484):
477.
1)
1
2
;
2
3
h
ám
 
  3)
5
3
;
7
14
hám
   
5)
;
2
3
x
x
y
y
hám
2)
1
2
;
a
b
hám
 
  4)
;
2
a
a
b
b
hám
   
6)
8
5
.
15
12
hám
478.
1)
3 1
7
,
;
4
5
20
a b
ab
hám
3)
2
3
7
8
;