Shahrisabz shahar pedagogika instituti xt 105 guruh talabasi shodiyona tursunpulatova

y A—Ay, (20.12)
z • A— Az.
Agar sistema determinant A^ 0 bo'lsa, u holda (20.8) sistema birgalikda va
AV A7 . »
X—At' y—i' z—t (2tU3)
formulalar bilan aniqlanadigan birgina yechimga egaligi kelib chiqadi.
(20.9) formulaning to'g'riligi isbotlandi.
Olingan (20.13) qoida uch noma'lumli uchta chiziqli tenglamalarni yechishning Kramer qoidasi deb ataladi.
4- m i s o l. ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
' x + 2y + z — 8 ■ 3x + 2 y + z — 10,
.4x + 3y — 2z — 4.
Y e ch i sh. A, AXi Ay, Az determinantlarni hisoblaymiz:

	1	2	1			8	2	1
A=	3	2	1	= 14,	Ax	10	2	1
	4	3	-2			4	3	-2

	1	8	1			1	2	8
Ay=	3	10	1	= 28,	Az=	3	2	10
	4	4	-2			4	3	4

= 14, = 42.
Kramer qoidasidan foydalanib, x, y, z ni topamiz:
Ax 14 „ Ay 28 „ Az
x = — = — =1, y = — = — 2, z = —
A 14 A 14 A
42
42 = 3.
14
(20.8) tenglamalar sistemasiga qaytib, ozod hadlar nolga teng deb hisoblaymiz. Ushbu bir jinsli sistemani qaraymiz:
anx + ai2y + ai3z = 0,
a2ix + a22y + a2sz = 0, (20.14)
&3i* + a32y + a33z = 0.
Determinantlar Ax= Ay= Az= 0, chunki ular nollardan iborat ustunga ega. Shu sababli bir jinsli sistema A^ 0 bo'lganda birgina nol yechim x = 0, y = 0, z = 0 ga ega yoki A= 0 bo'lganda cheksiz ko'p yechimlarga ega.
3. n noma'lumli n ta tenglamalar sistemasi. Umumiy holda n noma'lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi bunday yoziladi:
' a11x1 + a12x2 +-----+ a1nxn = b1,
{ 0-21X1 + 0.22X2 +-----+ 02nxn = b2, (20.15)
V On1X1 + ttn2X2 + . . . +onnxn bn.
Bu yerda x1, x2,. . . ,xn noma'lum sonlar, qolgan sonlar esa ma'lum, b1, b2, . . . ,bn ozod hadlar, a11t a12. . . . , ann
sistema koeffisentlari. 1-bandda ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglama sistemasi uchun va 2-bandda uch noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi uchun olingan Kramer qoidasi noma'lumlar soni chiziqli tenglamalar soni bilan bir xil bo'ladigan istalgan (20.15) sistema uchun o'rinli. Bu qoidani keltirib chiqarmasdan qabul qilamiz.
Agar n noma'lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi (20.15) ning determinanti A^ 0 bo'lsa, u holda sistema birgalikda va ushbu formulalar bilan ifodalanadigan birgina yechimga ega:
A1 A2
*1 = V' *2 =
A
A
An
, X-n = —
' n A
Bu yerda A determinant (20.15) sistema noma'lumlari oldidagi koeffisentlardan tuziladi. A1; A2, . . . ,An esa A dan undagi har bir noma'lum oldidagi mos koeffisentlarni ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo'ladi.
21-§. Gauss usuli
n noma'lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi bo'yicha yechish n = 4 dan boshlaboq katta va mashaqqatli ishga aylanadi, chunki bu ish to'rtinchi tartibli beshta determinantni hisoblash bilan bog'liq. Shu sababli amalda Gauss usuli muvaffaqiyat bilan qo'llaniladi va u sistema birgalikda hamda aniq bo'lsa, uni soddaroq ko'rinishga keltirish va barcha noma'lumlarning qiymatlarini ketma-ket topish imkonini beradi. Gauss usuli shundan iboratki, u almashtirishlar yordamida noma'lumlarni ketma-ket chiqarib, so'ngi tenglamada faqat bitta noma'lumni qoldiradi.
Quyidagi n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini qaraylik:
'011*1 + 012*2 +. . . +«m*n = A,
{ 021*1 + 022*2 + . . . a2nxn = A' (21.1)
Un1*1 + 0n2*2 + . . . 0nn*n fn..
Bu sistemani Gauss usuli bilan yechish jarayoni ikki bosqichdan iborat.
1- bosqich. (21.1) sistema uchburchak ko'rinishga keltiriladi. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: at1 ^ 0 deb (agar at1 = 0 bo'lsa, 1- tartibli tenglama bilan a1t ^ 0 bo'lgan i — tenglamaning (i = 2, . . . , n) o'rinlarini almashtiramiz) quyidagi nisbatlarni tuzamiz.
_ _ a21
m21 = ~T~,
a11
_ a31
m31 = ~,