Tengsizliklarni hosila yordamida yechish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda hosila va integraldan foydalanish 1vlk ru

.
Xulosa 1 (doimiylik holati) . Agar f funktsiyasi segmentda uzluksiz bo'lsa va uning hosilasi
ushbu segment ichida nolga teng bo'lsa, f funktsiya doimiy bo'ladi.
Xulosa 2. Agar va funktsiyalari segmentda uzluksiz bo'lsa va bu segment ichida bir xil hosilalarga ega bo'lsa,
ular faqat doimiy hadda farqlanadi.
Funksiyaning monotonlik sharti ham Lagranj teoremasining natijasidir. Maktab darsligida teorema shaklida
alohida o'rnatiladi.
Xulosa 3 ( monotonlik holati). Agar f funktsiya I oraliqda uzluksiz bo'lsa va uning hosilasi bu oraliqning ichki nuqtalarida musbat
(mos ravishda manfiy) bo'lsa, u holda f funktsiya I da ortadi (mos ravishda kamayadi).
Lagrange teoremasi qo'llanilishi mumkin:
Tengsizliklarni isbotlashda, xususan - sonli tengsizliklar;
Ko'phad yoki tenglamaning ildizlari haqidagi savolni o'rganayotganda;
Tenglamalarni yechishda.
Bunday masalalarni yechish jarayonida Lagranj teoremasining shartlarini qanoatlantiruvchi segmentdagi f(x) funksiya hisobga
olinadi va unga Lagranj formulasi yoziladi.<Рисунок1>, c (a;b) va f’(c) baholanadi va shuning uchun ifoda<Рисунок2>, bu ko'rib
chiqilayotgan tengsizlikni isbotlash yoki ko'phad, tenglamaning ildizlari masalasini hal qilish imkonini beradi.
Misol 1. Buni isbotlang<Рисунок3>.
Yechim. Segmentdagi f(x)=arccosx funksiya uzluksiz va (0,6;0,8) oraliqda differensiallanadi,<Рисунок4>. Demak, bu
segmentdagi f(x) funksiya uchun Lagranj teoremasining shartlari bajariladi va<Рисунок5>, bu erda 0,6 , ya'ni.<Рисунок7>.
Keling, raqamni taxmin qilaylik<Рисунок8>. 0,6 dan beri <0,8, следовательно <Рисунок10>. Keyin<Рисунок11>va
nihoyat<Рисунок3>.
2-misol. e x >=ex ekanligini isbotlang.
Yechim. Tengsizlik x=1 uchun amal qiladi. f(x)=e x -ex funksiyani ko'rib chiqaylik. U holda har qanday b (b>1) soni uchun bu
funksiya uchun Lagranj teoremasining shartlari segmentda bajariladi va b uchun.<1 – выполняется условие теоремы на отрезке
и, следовательно, существует внутренняя точка соответствующего отрезка, такая, что <Рисунок12>, ya'ni.<Рисунок13>. b>1
bilan c>1 ekan, u holda e c >e va demak, e c -e>0. Keyin<Рисунок14>, va shuning uchun e b -eb>0, ya'ni. har qanday b>1 uchun e
b >eb. Shunday qilib, x>=1 uchun e x >=ex ekanligi isbotlangan.
Agar b<1, то <Рисунок15>, ya'ni. Bilan<1, тогда e c , shundan kelib chiqadiki, e b -eb>0, ya'ni. eb >eb.
Demak, e x >= ex tengsizlik har qanday haqiqiy x uchun to'g'ri ekanligi isbotlangan. Xususan, x=c+1 uchun e c+1 >=e(c+1), ya’ni. e
c >=c+1, bu yerda c har qanday haqiqiy son.
3-misol. Tenglama ekanligini isbotlang<Рисунок16>haqiqiy ijobiy ildizlarga ega emas.
Yechim. b har qanday musbat son bo'lsin. Funktsiyani ko'rib chiqing f(x)= <Рисунок17>, intervalda uzluksiz va hosilaga
ega<Рисунок18>(0;b) oraliqda. Lagrange teoremasi bo'yicha, biz bor<Рисунок19>, 0. Va har qanday s>0 e c >c+1 uchun (2-
misolda isbotlangan), u holda e c -c>1 va demak,<Рисунок21>. Bu erdan olamiz<Рисунок22>, bu degani<Рисунок23>har qanday
b>0 uchun. Shunday qilib,<Рисунок24>x>0 uchun, ya'ni.<Рисунок25>, shuning uchun tenglik<Рисунок16>x>0 uchun amal
qilmaydi. Va shuning uchun tenglama<Рисунок16>haqiqiy ijobiy ildizlarga ega emas.
4-misol. (0, 2) oraliqda tenglamaning ko‘pi bilan ikki xil haqiqiy ildizi borligini isbotlang.<Рисунок26>.

---

15/19
Yechim. Faraz qilaylik, tenglamaning (0.2) oraliqlariga tegishli kamida uchta turli xil haqiqiy ildizlar x 1 , x 2 , x 3 bo
ʻlsin va x 1
bo
ʻlsin. , ya'ni. f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0. Har bir segmentda f (x) funktsiyasi uchun Lagranj teoremasining shartlari bajariladi,
shuning uchun (x 1; x 2), (x 2; x 3) oraliqlardan c 1 va c 2 raqamlari mavjud. , mos ravishda,
shunday<Рисунок28>Va<Рисунок29>. Va f (x 1) \u003d f (x 2) \u003d f (x 3) \u003d 0, keyin f '(c 1) \u003d 0 va f '(c 2)
\u003d 0 va 1 dan 2.
f'(x) hosilasini topamiz:
<Рисунок30>. Chunki<Рисунок31>ixtiyoriy x uchun f’(x)=0 tenglama (0, 2) oraliqlariga tegishli bo’lgan x= bitta ildizga ega
bo’ladi. Biz ziddiyatga keldik, chunki c 1 va c 2 (c 1 c 2) f’(x)=0 tenglamaning ildizlari bo‘lib, shu bilan tenglama mavjudligini
isbotladik.<Рисунок26>(0,2) oraliqda ko‘pi bilan ikki xil haqiqiy ildizga ega.
5-misol. x 9 -9x 5 +63x-55=0 tenglamani yeching.
Yechim. X 1 \u003d 1 raqami ushbu tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson. X 1 dan farq qiladigan kamida bitta haqiqiy ildiz x
2 bor deb faraz qilaylik. x 1 va x 2 sonlari f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 funksiyaning nollari va shuning uchun f(x 1)=f(x 2)=0. Agar x 1
bo'lsa, f(x) funksiyaga Lagranj teoremasini qo'llaymiz x 2. Shuning uchun, bu segmentdan shunday bir ichki nuqta
bor<Рисунок32>. f (x 1) \u003d f (x 2) \u003d 0 ekanligini hisobga olsak, biz f' (c) \u003d 0 ni olamiz, ya'ni. c soni f’(x)=0
tenglamaning ildizidir. Lekin hosila f’(x)=9x 8 -45x 4 +63, ya’ni. f’(x)=9(x 4 -2,5) 2 +6,75 har qanday x uchun musbat, ya’ni f’(x)=0
tenglamaning ildizlari yo’q. Olingan ziddiyat topilgan ildiz x 1 =1 x 9 -9x 5 +63x-55=0 tenglamaning yagona ildizi ekanligini
isbotlaydi.
y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) funktsiyasining kritik nuqtalari sonini aniqlang.
Yechim. f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) ko'phadining darajasi 5 bo'lganligi sababli, uning hosilasi f '(x) to'rtinchi darajali
ko'phaddir va hech qanday ko'phadga ega emas. to'rtdan ortiq haqiqiy ildiz. Lagranj teoremasini f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9)
funksiyaga [-1;0], , oraliqlarda qo‘llasak va hisobga olamiz. f( -1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. Har bir bunday segmentda mos ravishda
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ichki nuqtalar mavjud, shuning uchun<Рисунок33>, <Рисунок34>