Tengsizliklarni hosila yordamida yechish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda hosila va integraldan foydalanish 1vlk ru

Muammo 1.16., , ko'phad ekanligini isbotlang.
Ko‘pi bilan n ta ildizga ega.
3-xususiyatga ko‘ra, ko‘phadning ikki ildizi orasida uning hosilasining kamida bitta ildizi yotadi. Demak, agar f(x) ko'phadning ,
aniq ildizlari bo'lsa, uning hosilasi kamida (k-1) ildizga ega bo'lishi kerak. Xuddi shu tarzda - kamida k-2 ildiz va boshqalar, n-chi
hosila - kamida (k-n) ildizlar, . Bu mumkin emas, chunki u nolga teng bo'lmagan doimiydir.
Muammo 1.17. Ko'phadning ildizi 0 va 1 () orasida ekanligini isbotlang.
2-xususiyatni nishonga qo'llash natija bermaydi, chunki . g funktsiyasini ko'rib chiqing, bu erda. Buning uchun f funksiya
hosiladir. dan beri, keyin, 3 xossaga ko'ra, ba'zilari uchun .
Muammo 1.18. Tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'qligini isbotlang.
Mayli , Keyin. Agar x tenglamaning ildizi bo'lsa, u holda, ya'ni. f funktsiyasi uzluksizligi tufayli har bir ildizning
qo'shnisida kamayadi. E'tibor bering, agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular manfiydir. Ma'lumki, polinom n-
daraja ko‘pi bilan n ta ildizga ega. Ildizlarning eng kattasi bilan belgilang. Keyin shundaylar mavjud. dan beri, u
holda interval f(x) ko'phadning x ildizini o'z ichiga olishi kerak. qarama-qarshilikka ega bo'ldi.
Ko'rinishdagi tenglamani ko'rib chiqing, bu erda f, g o'zaro teskari, bir xil ta'rif sohasiga ega bo'lgan ortib boruvchi funktsiyalar.
Keling, bu tenglama tenglamaga ekvivalent ekanligini ko'rsatamiz. (3)
Haqiqatan ham, ruxsat bering A(3) tenglamaning ildizi, ya'ni. . Funktsiya doirasi hisobga olinsa g funksiya qiymatlari to‘plamiga
to‘g‘ri keladi f aksincha, ular yozilishi mumkin: , yoki , ya'ni. , va tenglamaning ildizidir.
Aksincha, ruxsat bering, lekin . Keyin yoki. birinchi holat. Xuddi shu narsa ikkinchi holat uchun ham amal qiladi.

---

11/19
Shunday qilib, ma'lum bir hiyla olinadi ekvivalent transformatsiya tenglamalar.
Muammo 1.19. Tenglamani yeching.
Keling, ushbu tenglamani shaklda qayta yozamiz. Funktsiya uzluksiz, ortib boruvchi (ikki ortib boruvchi va ning yig'indisi
sifatida), shuning uchun u teskari xususiyatga ega. Keling, topamiz:,. Demak, f ga teskari funktsiya tenglamaning o'ng tomoniga
to'g'ri keladi. Yuqoridagilarga asoslanib, tenglama tenglamaga ekvivalentdir. Bu tenglamaning ildizi ekanligi aniq. Tenglamaning
boshqa ildizlari yo'qligiga ishonch hosil qiling.
Mayli. U holda u ikki musbat sonning o
ʻrtacha arifmetik va oʻrtacha geometrik qiymati orasidagi farq sifatida musbat boʻladi va
.Shunday qilib, h funksiya butun real o
ʻqda ortadi. dan beri, u holda h(x)>0 uchun va uchun, ya'ni. tenglamaning yagona ildizidir.