Tengsizliklarni hosila yordamida yechish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda hosila va integraldan foydalanish 1vlk ru

Muammo 1.8. Buni 0 uchun isbotlang
f(x)=(sin x)/x (0) bo‘lsin Muammo 1.9. cos x >1–(1/2)x 2 x>0 uchun mos kelishini isbotlang.
f(x)=cos x –1+(1/2)x 2 funksiya x=0 da 0 ga teng. Uning hosilasi, x>0 uchun,
f / (x) = –sin x+x>0 (yoki sin x1–(1/2)x 2 .
Demak, x>0 uchun xuddi shunday sin x>x–(1/6)x 3 ni olamiz.
Muammo 1.10. Buni 0 uchun isbotlang
Buning uchun ko'rsatilgan x uchun tg x–x–(1/3)x 3 funksiyaning hosilasi sek 2 x–1–x 2 ga teng ekanligini, musbat ekanligini
aniqlash kifoya, yaʼni. bu tg 2 x – x 2 >0 va bu hammaga ma'lum tg x>x tengsizlikka olib keladi.
Muammo 1.11. X>0 uchun ln x x-1 to'g'ri kelishini isbotlang.
f(x)=ln x–x (x>0) funksiya f / (x)=(1/x)–1 > 0 hosilasiga ega bo‘lgani uchun (0 0 bo‘lganda, ln x x-1).
1.3. Tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish
Keling, hosila yordamida tenglamaning ildizlari mavjudligiga oid masalalarni qanday hal qilish mumkinligini va ba'zi hollarda
ularni qidirishni ko'rsatamiz. Avvalgidek, bu erda asosiy rolni monotonlik uchun funktsiyani o'rganish, uning ekstremal
qiymatlarini topish o'ynaydi. Bundan tashqari, monoton va uzluksiz funktsiyalarning bir qator xususiyatlaridan foydalaniladi.
Mulk 1. Agar f funksiya qaysidir oraliqda ortib yoki kamaysa, f(x)=0 tenglama bu oraliqda ko‘pi bilan bitta ildizga ega bo‘ladi.
Bu tasdiq to'g'ridan-to'g'ri ortib boruvchi va kamayuvchi funktsiyalarning ta'rifidan kelib chiqadi. f(x)=0 tenglamaning ildizi
y=f(x) funksiya grafigining x o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasiga teng.

---

10/19
Mulk 2. Agar f funksiya aniqlangan va oraliqda uzluksiz bo'lsa va uning uchlarida turli belgilar qiymatlarini qabul qilsa, u holda a
va b o'rtasida f(c)=0 bo'lgan c nuqta mavjud.
Muammo 1.12. tenglamani yeching
Tenglamaning ildizi nima ekanligiga e'tibor bering. Keling, bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaylik. Monotonlik
uchun f funktsiyani ko'rib chiqamiz. Hosil . Funktsiya o'z belgisini saqlab qoladigan intervallarni belgilaymiz. Buning uchun biz
uni monotonlik uchun tekshiramiz. Hosil . Chunki uchun, keyin uchun. Shuning uchun funktsiya x ning musbat qiymatlari uchun
ortib bormoqda; . Shuning uchun, da. Funktsiya juft bo'lgani uchun, oladi ijobiy qadriyatlar hamma bilan. Demak, f butun sonlar
qatorida ortadi. 1-xususiyatga ko'ra, tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Demak, tenglamaning yagona ildizi.