Tengsizliklarni hosila yordamida yechish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda hosila va integraldan foydalanish 1vlk ru

1.2. Differensial hisoblashning asosiy teoremalaridan foydalanish
tengsizliklarni isbotlashda
1-TEOREMA (Rum).f:R funksiyasi shartlarni qanoatlantirsin:

---

9/19
1) fC; 2) x(a,b) mavjud f / (x); 3) f(a)=f(b). U holda C(a,b): f / (C)=0.
Rol teoremasining geometrik ma'nosi: teoremaning 1)-3) shartlarida (a,b) oraliqda funksiya grafigiga tegish x o'qiga parallel
bo'lgan S nuqta mavjud. Amalda Rol teoremasining quyidagi bayonoti ko'proq qo'llaniladi: differensiallanuvchi funktsiyaning har
qanday ikkita noli orasida hosilaning kamida bitta noli mavjud.
2-TEOREMA(Lagrange o'rtacha qiymat yoki yakuniy o'sish haqida) . Faraz qilaylik, f:R funksiyasi shartlarni qanoatlantiradi:
1) fC; 2) x(a,b) mavjud f / (x). Keyin C(a,b): f(b)-f(a)=f / (C)(b-a).
(f(b)-f(a))/(b-a) nisbati (a, f(a)), (b,) nuqtalardan o’tuvchi sekantning x o’qiga nishablik burchagi tangensi. f(b)). Lagranj
teoremasining geometrik ma'nosi: teoremaning 1)-2) shartlarida (a,b) oraliqda (C, f() nuqtadagi funksiya grafigiga teginish C
nuqtasi mavjud. C)) sekantga parallel.
Natija 1. f:R funksiya f / on (a,b) va x(a,b) f / (x)=0 hosilasi bo'lsin. U holda ba'zi L R uchun x(a,b) f(x)=L.
Natija 2. f:R, g:R funksiyalar f / va g / on (a,b) va x(a,b) f / (x)=g / (x) hosilalariga ega. U holda qandaydir L R x(a,b) soni uchun:
f(x)=g(x)+L.
Natija 3. f:R funksiya f / on (a,b) hosilasi bo'lsin va ba'zi L R uchun x(a,b) f / (x)=L bo'lsin. Keyin ba'zi M R x(a,b uchun):
f(x)=Lx+M.
3-TEOREMA (Koshi). f:R, g:R funksiyalar quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1) f, gC; 2) x(a,b) f / va g / hosilalari mavjud; 3)
x(a,b) g / (x)0.
Keyin C(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f / (C)/g / (C).
Lagranj teoremasi g(x)=x, x uchun Koshi teoremasining maxsus holatidir.
1.5-topshiriq. Istalgan x, y R uchun isbotlang: sin x – sin yx – y; x, y R: cos x – cos yx–y; x, y R: arktan x – arktan yx–y;
x, y
C(0,x): e x – e 0 = e C (x-0)>x, chunki C>0 uchun e C >1. Agar x 1+x.
Muammo 1.7. Har qanday x >0 uchun buni isbotlang: e x >1+x+(x 2 /2).
Tengsizlikni isbotlash uchun funksiyalarga Koshi teoremasini qo'llaymiz
f(u)=e u , g(u)=1+u+(u 2 /2), u. Biz C(0,x) ni olamiz: (e x – e 0)/(1+x+(x 2 /2)–1) = e C /(1+c). Tasdiqlangan tengsizlikni hisobga
olib, (e x -1) / (x+(x 2 /2))>1 ni topamiz, bundan e x >1+x+(x 2 /2).