Muammo 1.13. Tenglamalar sistemasini yeching
Tizim quyidagilarga teng:
Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki, ikkinchidan - . Birinchi x tenglamadan y nisbatda ifodalaymiz: , . Keyin. qo'yib, olamiz yoki .
f funksiyaning hosilasi, bu yerda , ga teng. t ning barcha qiymatlari uchun manfiy. Shunday qilib, f funksiyasi kamayib bormoqda.
Shuning uchun tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Uning ildizi nimaga e'tibor bering. Shunday qilib, tizimning yagona yechimi.
Muammo 1.14. Tenglama oraliqda yotgan yagona ildizga ega ekanligini isbotlang.
Tenglama shaklga ekvivalent transformatsiyalar bilan kamayadi, bu erda. f funktsiyasi ortib bormoqda, chunki hamma uchun . 1-
xususiyatga ko'ra, tenglama ko'pi bilan bitta yechimga ega. f funksiya uzluksiz, bundan tashqari, , . 2-xususiyati tufayli intervaldagi
tenglama ildizga ega.
3-masalada tenglamaning ildizi qandaydir intervalga tegishli ekanligini isbotlash talab qilindi. Biz ushbu segmentning oxirida turli
belgilar qiymatlarini oladigan segmentda uzluksiz funktsiyaning 2 xususiyatidan foydalandik. Bunday muammolarni hal qilishda
bu yo'l har doim ham maqsadga olib kelmaydi. Ba'zan differentsiallanuvchi funktsiyalarning quyidagi xossasidan foydalanish
maqsadga muvofiqdir.
Mulk 3(Roll teoremasi). Agar f funktsiya oraliqda uzluksiz, (a,b) va f(a)=f(b) oraliqda differensiallanuvchi bo'lsa, unda shunday
nuqta mavjud bo'ladiki.
Geometrik tilda 3-xususiyat quyidagi ma'noni bildiradi: agar bo'lsa, egri chiziq grafigida koordinatalari bo'lgan C nuqta mavjud
bo'lib, bu erda grafikning tangensi x o'qiga parallel bo'ladi.
Muammo 1.15., uchun tenglama ko‘pi bilan bitta haqiqiy ildizga ega ekanligini isbotlang.
Faraz qilaylik, tenglama kamida ikkita ildizga ega va. f funktsiyasi butun real chiziqda differentsiallanadi. Chunki 3-xususiyaga
ko'ra, uning intervaldagi hosilasi ildizga ega. Biroq, , uchun tenglamaning yechimlari yo'q. Olingan qarama-qarshilik tenglamaning
bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin emasligini ko'rsatadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
