Tengsizliklarni hosila yordamida yechish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda hosila va integraldan foydalanish 1vlk ru

a Va b tenglamaga, oxirgi izoh fikrlashning umumiyligini cheklamaydi. Tenglama ekanligi aniq a b =b a
tenglamaga teng b*(ln a)=a*(ln b), yoki
(ln a)/a = (ln b)/b.
Mayli f(x)=(log x)/x(1). (1) tenglama yechimlarining mavjudligi qiymatlarning mavjudligiga teng x 1 Va x 2 (x 1 2 ) shu kabi f(x 1
)=f(x 2 ). Bunday holda, er-xotin (x 1 ,x 2 ) (1) tenglamaning yechimidir. Boshqacha qilib aytganda, biz chiziq bor yoki yo'qligini
aniqlashimiz kerak y=c, kesishuvchi funktsiya grafigi f kamida ikki xil joy. Buning uchun biz funktsiyani o'rganamiz f. Uning
hosilasi f / (x)=(1–ln x)/x 2 ta'rif sohasida f bitta tanqidiy nuqtaga ega x=e. Da 0 / (x)>0 funktsiyasi f ortadi, va x>e f / (x) 0
funksiyasi f kamayadi. Shuning uchun, nuqtada x=e f eng katta qiymatini oladi (1 /e). Funktsiyadan beri (lnx)/x uzluksiz bo'lib,
oraliqda ortadi (0,e], keyin bu intervalda barcha qiymatlarni oladi - dan 1/e. Xuddi shunday, o'rtada . Funktsiyani o'rganish
natijalaridan f quyidagi da'volar:
3. Agar b>a>e, Bu a b >b a .
Shunday qilib, agar (a,b) tenglamaning yechimidir a b =b a, Bu 1, b>e. Bundan tashqari, har bir belgilangan qiymat uchun 1faqat
bitta qiymat mavjud b>e shu kabi a b =b a
3-muammoning savoliga javob berish uchun uni qo'yish kifoya a=e, b= va tasdiqdan foydalaning (1). Shunday qilib , e> e. 3-
muammo hal qilindi.
Vazifa 1.4. Ikki nafar sayyoh bir xil yo‘nalish bo‘ylab ketishdi. Birinchi kuni ular bir xil masofani bosib o'tishdi. Keyingi
kunlarning har birida birinchi sayyoh bosib o'tgan masofani avvalgilariga nisbatan bir xil masofaga, ikkinchisi esa bir xil marta
oshirdi. Ma’lum bo‘lishicha, sayohatning n-kunida (n>2) turistlar yana bir xil masofani bosib o‘tishgan. Birinchi sayyoh n kun
ichida ikkinchisiga qaraganda ko'proq masofani bosib o'tganligini isbotlang.
Birinchi sayyohning n kun ichida bosib o'tgan masofasi birinchi n ta hadning yig'indisiga teng arifmetik progressiya, ikkinchisi esa
- geometrik progressiyaning birinchi n a'zosining yig'indisi. Biz bu masofalarni mos ravishda belgilaymiz S n Va S n / . Agar a
progressiyaning birinchi a'zosi, d arifmetik progressiyaning farqi, q u holda geometrik progressiyaning maxrajidir
Tenglash n a'zolari rivojlanishini topamiz
Keyin , bu erda q>1 (muammoning shartiga ko'ra). Agar shuni ko'rsatsak 4-masala hal bo'ladi , Qayerda
n>2, q>1 (2)
n=3 uchun bizda aniq tengsizlikka teng bo'lgan . (2) tengsizlik uchun amal qiladi deb faraz qilsak n=k, biz buni
isbotlaymiz n=k+1. Bizda ... bor
Dalilni to'ldirish uchun iborani tekshirish kifoya k>2. Bu erda lotinga murojaat qilish tavsiya etiladi.
hosila ijobiy bo'lsin x>1. Shunung uchun f da x>1 ortadi. Chunki f(1)=0 va funksiya f nuqtada uzluksiz x=1, Bu f(x)>0 da x>1, ya'ni.
f(q)>0. Shunday qilib, S n >S n / . 4-masala hal qilindi.