Tengsizliklarni hosila yordamida yechish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda hosila va integraldan foydalanish 1vlk ru

, <Рисунок35>, <Рисунок36>, ya'ni. f'(x
1)=0, f'(x 2)=0, f'(x 3)=0, f'(x 4)=0. Va x 1, x 2, x 3, x 4 to'rtinchi darajali f'(x) ko'phadning turli ildizlari ekanligini hisobga olsak,
olinganlardan boshqa ildizlar yo'q degan xulosaga kelamiz va shuning uchun y = funktsiyasi. (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) to'rtta muhim
nuqtaga ega.
Funktsiya uchun monotonlik sharti qo'llanilishi mumkin:
Tengsizliklarni yechishda;
O'zgaruvchi bilan tengsizliklarni isbotlashda;
Raqamli tengsizliklarni isbotlashda;
Tenglamaning ildizlari soni haqidagi savolni tekshirganda;
Ayrim hollarda tenglamalarni, parametrli tenglamalarni, tenglamalar tizimini yechishda.
Monotonlik sharti yordamida masalalarni yechish funktsiyaning ma’lum oraliqdagi hosila belgisi bilan ortishi yoki kamayishi
o‘rtasidagi bog‘lanishga asoslanadi. Shu bilan birga, ko'rib chiqilayotgan monotonik funktsiyaning ushbu oralig'idan
argumentning turli qiymatlarini taqqoslab, ushbu funktsiyaning tegishli qiymatlari haqida xulosa chiqariladi.
7-misol. 3xcosx ekanligini isbotlang .
Yechim. Agar 0 bo'lsa, buni isbotlaylik , keyin sinx+sin2x-3xcosx>0, ya'ni. cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Intervalda uzluksiz deb
hisoblang<Рисунок38>f(x)=tgx-3x+2sinx funksiyasi. Uning hosilasi<Рисунок39>da<Рисунок40>musbat qiymatlarni oladi,
shuning uchun f(x) funksiya intervalda ortadi<Рисунок38>va undagi f(x)>f(0).
f(0)=0 ekanligini hisobga olsak, bizda tgx-3x+2sinx>0 bo'ladi. Va oradan beri<Рисунок38>cosx>0, keyin cosx(tgx+2sinx-3x)>0.
Shunday qilib, sinx+sin2x-3xcosx>0, ya'ni 3xcosx ekanligi isbotlangan. .
Misol 8. Buni isbotlang
1) <Рисунок41>Va<Рисунок42>agar 0
2) <Рисунок43>Va<Рисунок44>, agar e<=x 1
Yechim. (0;+) oraliqda uzluksiz funksiyani ko‘rib chiqaylik.<Рисунок45>. Uning hosilasidan beri<Рисунок46>x=e da nolga teng,
0 da 0 va f'(x)<0 при x>e, keyin (0;e] oraliqda f(x) funksiya ortadi, oraliqda esa u kamayadi.X=-3, x=-2, x= nuqtalardagi funksiya
qiymatlarini hisoblang. 2, x=5. Bizda f( -3)=-1 bor<0, f(-2)=13>0, f(2)=-51<0, f(5)=111>0. [-3;-2], [-2;2] segmentlar uchidagi f(x)
funksiyasi har xil ishorali qiymatlarni qabul qilganligi sababli ularning har biri tenglamaning faqat bitta ildiziga ega. Shunday
qilib, 2x 3 -24x-19 \u003d 0 tenglamasi (-3; -2), (-2; 2), (2; 5) oraliqlarda joylashgan uchta haqiqiy ildizga ega.
Lagrange teoremasining qolgan natijalarini qo'llash mumkin:

---

16/19
Shaxslarni isbotlashda, xususan, elementar matematika formulalarini chiqarishda;
Ifodalarni soddalashtirganda;
Algebraik ifodalarni omillarga ajratishda.
Bunday masalalarning bir qatorini ma’lum oraliqda yechishda yoki bitta f(x) funksiya ko‘rib chiqiladi, uning hosilasi f’(x)=0 va
demak, funksiya doimiy, ya’ni. f(x)=c ko‘rinishga ega yoki ikkita f(x) va g(x) funksiyaga ega bo‘lib, f'(x)=g'(x) bo‘ladi va f(x)=g(x)
degan xulosaga keladi. )+c (c - doimiy). Bu doimiy x ni qandaydir x 1 qiymatiga teng belgilash orqali topiladi.
12-misol. Formulani chiqaring<Рисунок61>.
Yechim. f(x)= funksiyasi<Рисунок62>butun sonlar qatorida uzluksiz. Bu funksiyaning f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x hosilasi
topilsin. Har qanday x haqiqiy qiymat uchun f'(x)=0, shuning uchun funktsiyaning doimiylik shartiga asoslanib, f(x) funksiya
doimiy, ya'ni, degan xulosaga kelishimiz mumkin. f(x)=c. c doimiy ni aniqlash uchun x=0 qo'yamiz va f(0)=c olamiz, ya'ni. sin 2 0-
0,5+0,5cos0=c. Shunday qilib, c=0 va demak, f(x)=0, bu erdan olamiz<Рисунок62>=0, yoki<Рисунок61>.
13-misol. arctgx=arcsin ekanligini isbotlang<Рисунок63>x da<0.
Yechim. (-;0] oraliqda uzluksiz ikkita f(x)=arctgx va g(x)=arcsin funksiyalarini ko‘rib chiqing.<Рисунок64>, keyin ular har qanday
intervalda uzluksizdir. Bu funksiyalarning hosilalarini topamiz.
<Рисунок65>, <Рисунок66>. Chunki x uchun<0 |x|=-x, то <Рисунок67>va keyin segment ichida f'(x)=g'(x) . Xulosa 2 ga
asoslanib, biz f(x)=g(x)+c ga ega bo'lamiz, bu erda c doimiydir. c ni aniqlash uchun x=-1 deylik, bu arctg(-1)=arcsin ni
beradi<Рисунок69>, ya'ni<Рисунок68>Shunday qilib, biz arctgx=arcsinni olamiz<Рисунок63>x da<0.
1.3. Tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish
Keling, hosila yordamida tenglamaning ildizlari mavjudligiga oid masalalarni qanday hal qilish mumkinligini va ba'zi hollarda
ularni qidirishni ko'rsatamiz. Avvalgidek, bu erda asosiy rolni monotonlik uchun funktsiyani o'rganish, uning ekstremal
qiymatlarini topish o'ynaydi. Bundan tashqari, monoton va uzluksiz funktsiyalarning bir qator xususiyatlaridan foydalaniladi.
Xossa 1. Agar f funksiya qaysidir oraliqda ortib yoki kamaysa, u holda bu oraliqda f(x)=0 tenglama ko’pi bilan bitta ildizga ega
bo’ladi.
Bu tasdiq to'g'ridan-to'g'ri ortib boruvchi va kamayuvchi funktsiyalarning ta'rifidan kelib chiqadi. f(x)=0 tenglamaning ildizi
y=f(x) funksiya grafigining x o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasiga teng.
2 xossa. Agar f funktsiya oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo'lsa va uning uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda a
va b o'rtasida f(c)=0 c nuqta bo'ladi.
Muammo 1.12. tenglamani yeching
Tenglamaning ildizi nima ekanligiga e'tibor bering. Keling, bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaylik. Biz f
funktsiyasini o'rganamiz, bu erda , monotonlik uchun. Hosil . Funktsiya o'z belgisini saqlab qoladigan
intervallarni belgilaymiz. Buning uchun biz uni monotonlik uchun tekshiramiz. Hosil . Chunki uchun,
keyin uchun. Shuning uchun funktsiya x ning musbat qiymatlari uchun ortib bormoqda; . Shuning uchun,
da. Funktsiya juft bo'lgani uchun u hamma uchun ijobiy qiymatlarni oladi. Demak, f butun sonlar qatorida
ortadi. 1-xususiyatga ko'ra, tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Demak, tenglamaning yagona ildizi.
Muammo 1.13. Tenglamalar sistemasini yeching
Tizim quyidagilarga teng:
Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki, ikkinchidan - . Birinchi x tenglamadan y nisbatda ifodalaymiz: , .
Keyin . qo'yib, olamiz yoki . f funksiyaning hosilasi, bu yerda , ga teng. t ning barcha qiymatlari uchun
manfiy. Shunday qilib, f funksiyasi kamayib bormoqda. Shuning uchun tenglama ko'pi bilan bitta ildizga
ega. Uning ildizi nimaga e'tibor bering. Shunday qilib, tizimning yagona yechimi.
Muammo 1.14. Tenglama oraliqda yotgan yagona ildizga ega ekanligini isbotlang.
Tenglama shaklga ekvivalent o'zgartirishlar bilan qisqartiriladi, bu erda . f funktsiyasi ortib bormoqda, chunki
hamma bilan. 1-xususiyatga ko'ra, tenglama ko'pi bilan bitta yechimga ega. f funktsiyasi uzluksiz, bundan
tashqari, , . 2-xususiyati tufayli intervaldagi tenglama ildizga ega.
3-masalada tenglamaning ildizi qandaydir intervalga tegishli ekanligini isbotlash talab qilindi. Biz ushbu
segmentning oxirida turli belgilar qiymatlarini oladigan segmentda uzluksiz funktsiyaning 2
xususiyatidan foydalandik. Bunday muammolarni hal qilishda bu yo'l har doim ham maqsadga olib kelmaydi. Ba'zan
differentsiallanuvchi funktsiyalarning quyidagi xossasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir.

---

17/19
3-xossa (Rol teoremasi). Agar f funktsiya oraliqda uzluksiz, (a,b) va f(a)=f(b) oraliqda differensiallanuvchi
bo'lsa, unda shunday nuqta mavjud bo'ladiki.
Geometrik tilda 3-xususiyat quyidagi ma'noni bildiradi: agar bo'lsa, egri chiziq grafigida koordinatalari
bo'lgan C nuqta mavjud bo'lib, bu erda grafikning tangensi x o'qiga parallel bo'ladi.
Muammo 1.15. , uchun tenglama ko‘pi bilan bitta haqiqiy ildizga ega ekanligini isbotlang.
Faraz qilaylik, tenglama kamida ikkita ildizga ega va. f funktsiyasi butun real chiziqda differentsiallanadi.
Chunki , keyin 3-xususiyaga ko'ra, uning intervaldagi hosilasi ildizga ega. Biroq, , uchun tenglamaning
yechimlari yo'q. Olingan qarama-qarshilik tenglamaning bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin emasligini
ko'rsatadi.
Muammo 1.16. , , ko'phad ekanligini isbotlang.
Ko‘pi bilan n ta ildizga ega.
3-xususiyatga ko‘ra, ko‘phadning ikki ildizi orasida uning hosilasining kamida bitta ildizi yotadi. Demak, agar
f(x) ko'phadning , aniq ildizlari bo'lsa, uning hosilasi kamida (k-1) ildizga ega bo'lishi kerak. Xuddi shu tarzda
- kamida k-2 ildiz va boshqalar, n-chi hosila - kamida (k-n) ildizlar, . Bu mumkin emas, chunki u nolga teng
bo'lmagan doimiydir.
Muammo 1.17. Ko'phadning ildizi 0 va 1 () orasida ekanligini isbotlang.
2-xususiyatni nishonga qo'llash natija bermaydi, chunki . g funktsiyasini ko'rib chiqing, bu erda. Buning uchun f funksiya
hosiladir. dan beri, keyin, 3-xususiyatga ko'ra, ba'zilar uchun .
Muammo 1.18. Tenglama ekanligini isbotlang haqiqiy ildizlarga ega emas.
Mayli , Keyin . Agar x tenglamaning ildizi bo'lsa, u holda, ya'ni. f funktsiyasi uzluksizligi tufayli har bir
ildizning qo'shnisida kamayadi. E'tibor bering, agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular manfiydir.
Ma'lumki polinom n daraja ko‘pi bilan n ta ildizga ega. Ildizlarning eng kattasi bilan belgilang.
Keyin shundaylar mavjud. dan beri, u holda interval f(x) ko'phadning x ildizini o'z ichiga olishi
kerak. qarama-qarshilikka ega bo'ldi.
Ko'rinishdagi tenglamani ko'rib chiqing, bu erda f, g o'zaro teskari, bir xil ta'rif sohasiga ega bo'lgan
ortib boruvchi funktsiyalar. Keling, bu tenglama tenglamaga ekvivalent ekanligini ko'rsatamiz. (3)
Haqiqatan ham, (3) tenglamaning ildizi a bo'lsin, ya'ni. . Agar g funktsiya sohasi f funktsiya qiymatlari
to'plamiga to'g'ri kelishini va aksincha, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin: , yoki , ya'ni. , va
tenglamaning ildizidir.
Aksincha, ruxsat bering, lekin . Keyin yoki. birinchi holat. Xuddi shu narsa ikkinchi holat uchun ham amal
qiladi.
Shunday qilib, tenglamalarni ekvivalent o'zgartirishning alohida usuli qo'lga kiritildi.
Muammo 1.19. Tenglamani yeching.
Keling, ushbu tenglamani shaklda qayta yozamiz . Funktsiya uzluksiz, ortib boruvchi (ikki ortib
boruvchi va ning yig‘indisi sifatida), shuning uchun u teskari xususiyatga ega. Keling, topamiz: , .
Demak, f ga teskari funktsiya , tenglamaning o'ng tomoniga to'g'ri keladi. Yuqoridagilardan kelib
chiqqan holda, tenglama tenglamaga ekvivalentdir . Bu tenglamaning ildizi ekanligi aniq.
Tenglamaning boshqa ildizlari yo'qligiga ishonch hosil qiling.
Tuzilgan gipoteza quyidagi vazifalarni hal qilishi kerak edi: 1. Trigonometrik tenglamalar va
tengsizliklarning matematika o`qitishdagi rolini aniqlash; 2. Trigonometrik tasvirlarni ishlab chiqishga
qaratilgan trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechish malakalarini shakllantirish metodikasini
ishlab chiqish; 3. Ishlab chiqilgan metodikaning samaradorligini eksperimental tekshirish. Yechimlar uchun...
Koordinata o'qining nuqtalari. Dars raqami 4. Mavzu: Analitik usul. Filial usuli. Darsning maqsadi: talabalarni
parametrli tenglamalarni yechishning asosiy usuli bilan tanishtirish. O'qituvchi o'qishi: , , , , Talaba o'qishi:
Xulosaga qarang: Parametr olishi mumkin bo'lgan turli qiymatlarni ko'rib chiqing. Tenglamani soddalashtirish
va tenglamani mahsulotga keltirish...

---

18/19

---

19/19
Algebra va tahlilning boshlanishi, davlat yakuniy attestatsiyasiga tayyorgarlik
ko'rishda, tashqi mustaqil baholash. Etarlicha ko'p sonli muammolar cheksiz
kichik miqdorlarni tahlil qilishning potentsial imkoniyatlarini ochib beradi. 1.
Hosila va uning amaliy masalalarni yechishda qo‘llanilishi 1.1 Tarixiy
ma’lumotlar Differensial hisoblashning bir qator masalalari antik davrda
yechilgan. Ular uchrashishdi ...
Yuqoridagi teorema yechimlar uchun mavjudlik va yagonalik teoremalarini
isbotlash uchun aprior baholarning muhimligidan dalolat beradi. 2-bob.
Qo‘llash misoli 1. Kichik haqiqiy parametrli l integral tenglamani ko‘rib
chiqaylik: (1) Bu A()x = u() ko‘rinishdagi tenglama – S[-p dagi operator
tenglama; p], bu erda A() ning 0 nuqtada analitik ekanligini ko'rsatamiz,
ya'ni, bir qator turlarga ajraladi. Keling, funktsiyani ajratamiz ...