Tengsizliklarni hosila yordamida yechish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda hosila va integraldan foydalanish 1vlk ru

2-BO'lim
MATEMATIKA MUAMMOLARIDA ANTIDEATIV VA INTEGRAL
2.1. Monoton funksiyalar integralining tengsizliklarni isbotlashda qo‘llanilishi
Agar da bo'lsa, u funktsiya grafigi, x o'qi segmenti va a va b nuqtalarda x o'qiga perpendikulyarlar bilan chegaralangan egri chiziqli
trapezoidning maydoniga teng bo'ladi.
f funksiya musbat, uzluksiz va ga ortib boruvchi bo'lsin. Kesmani nuqtalar bo'yicha n qismga ajratamiz.
Yig'indi poydevorlarda bo'lgani kabi segmentlarda qurilgan to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng, balandliklar bilan ,
ya'ni. egri chiziqli trapezoidga "yozilgan" pog'onali figuraning maydoniga teng. F funktsiyasi ortib borayotganligi sababli, bu
maydon egri chiziqli trapezoidning maydonidan kamroq bo'ladi. Bu yerdan
(2.1)
Xuddi shunday, "ta'riflangan" bosqichli raqamning maydonini hisobga olgan holda, biz olamiz
(2.2)
Agar f funksiya musbat, uzluksiz va kamayuvchi bo'lsa, u holda
Tengsizliklarni isbotlashda (2.1) – (2.3) munosabatlari qanday ishlatilishini bir qancha misollar orqali ko'rsatamiz.
Vazifa 2.1. Agar bo'lsa, buni isbotlang .
Ifoda (2.1) tengsizlikning chap tomoniga to'g'ri keladi, bu erda . Intervaldagi funksiya ortib borayotgan,
uzluksiz, musbat. Shuning uchun (1) ga ko'ra. Funktsiya funktsiyaga qarshi hosiladir, chunki
. Shunung uchun . Chap tomon ikki tomonlama tengsizlik isbotlangan. Xuddi shu farazlar ostidagi
funktsiya uchun (2.2) munosabatdan o'ng tomon olinadi.
1-masalani yechishda biz uzluksiz, musbat, ortib boruvchi funksiya grafigi, x o‘qi segmenti va to‘g‘ri
chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoni qurilgan to‘rtburchaklar maydonlari
orasiga o‘ralganligidan foydalandik. ikkalasida ham asosda, balandliklar bilan va mos ravishda.
To'rtburchaklar maydonlari, umuman olganda, egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun juda qo'pol taxminlarni beradi. Aniqroq
baholar segmentni yetarlicha bo'lish yo'li bilan olinadi katta raqam qismlar.
Vazifa 2.2. Mayli. Buni har biri uchun isbotlang.
Funktsiyani ko'rib chiqaylik. U doimiy, ijobiy va kamayib boruvchidir. Biz (2.3) tengsizlikdan foydalanamiz, bu erda . (Nuqtalar
segmentni bir xil uzunlikdagi segmentlarga ajratadi). Oling
Bu yerdan. Bundan tashqari,
Yuqoridagi yechimda uchun ifodasi qandaydir pog'onali figuraning maydoni sifatida osongina
ifodalangan. Muammoda ko'rib chiqilayotgan tengsizliklarni isbotlash usulidan foydalanish uchun
ko'pincha birinchi navbatda tengsizliklarda uchraydigan ifodalarni o'zgartirish kerak bo'ladi.
Vazifa 2.3. Har bir natural n uchun buni isbotlang.
uchun tengsizlikning chap tomonini quyidagicha ifodalash mumkin:
Segmentdagi funksiyani ko'rib chiqaylik.Bu segment nuqtalar bilan n ga bo'linadi teng qismlar uzunlik 1. ifoda
Bu balandliklari bo'lgan poydevorlarda bo'lgani kabi, segmentlarga qurilgan to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng.
Funktsiya:

---

12/19
Ijobiy, uzluksiz, kamayib boruvchi. Shuning uchun (2.3) tengsizlikdan foydalanishimiz mumkin. Bizda ... bor
E'tibor bering, uchun tengsizlik aniq.