Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

Tadqiqot obyekti va predmeti. Maktablar, akademik litseylarda tahsil olayotgan o’quvchilar uchun bir o’zgaruvchili tengsizliklar va ularning tatbiqi hamda tengsizliklar isbotining ba’zi usullari.
Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishi maqsadi tengsizliklarni isbotlashning turli usullarini o`rganish, vazifasi tengsizliklarni oddiydan murakkabgacha yetarlicha o’rganib, o’quvchiga o’rganish uchun qulay bo’lgan qo’llanma yaratish.
Tadqiqot usuli va uslubiyati. Tahlil qilish, savol-javob, suhbat, kuzatish, umumlashtirish.
Olingan asosiy natijalar. Bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar va tengsizliklarni isbotlashning bir nechta usullari o’rganilgan va ularga doir misollar bajarib ko’rsatilgan hamda mustaqil yechish uchun misollar ko’rsatilgan.
Natijadaning ilmiy yangiligi va amaliy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishi referativ xarakterga ega bo`lib, tengsizliklarni isbotlashning turli usullari yetarlicha o`rganilgan. Bir nechta manbalardan mavzuga doir ma’lumotlar to’plangan.
Tatbiq etish darajasi va iqtisodiy samaradorligi. Qo’llanish sohasi. Xulosa va takliflar: berilgan uslubiy ko’rsatmalar va tavsiya qilingan misollar maktab, akademik litseylarda o’qitish va bilimni nazorat qilish jarayoni samaradorligini oshiradi. Ushbu bitiruv malakaviy ishidan maktab va akademik litsey talabalari hamda o`qituvchilari uslubiy qo`llanma sifatida foydalanishlari mumkin.
Ishning hajmi va tuzilishi. Kirish qismi, 3 ta bob, 9 ta paragraflar, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro`yxatidan dan iborat bo`lib 58 sahifadan iborat.

I Bob. Tengsizliklarni isbotlashda induksiya metodidan foydalanish uchun kerak bo’ladigan tushunchalar.
1.1-§ Matematik induksiya metodi
Matematik induksiya metodi matematikaning turli-tuman, hatto bir-biridan juda olis sohalarida muvafaqqiyat bilan keng qo`llaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o`zining juda sodda bo`lgan g`oyasi bilan e`tiborga sazovar. Bu metod isbotlanayotgan gipotezaning yoki teoremaning aniq bayonini keltirishda ma`lum “topog`onlik” ni talab etishi bilan ham xarakterlidir. Matematik induksiya elementar matematikaning barcha sohalaridagina emas, balki hozirgi zamonaviy matematikaning turli bo`limlarida ham yangi-yangi faktlarni isbot qilishning muhim omilidir. Induksiya yordamida biror A(n) gipoteza bayon etilgan bo`lib, bu mulohazaning ixtiyoriy n natural son uchun rostligini isbotlash kerak bo`lsin hamda A(n) mulohazaning to`g`riligini barcha n lar uchun bevosita tekshirib ko`rishning iloji bo`lmasin. A(n) mulohaza, matematik induksiya prinsipiga asosan, quyidagicha isbotlanadi:
Bu tasdiqning to`g`riligi, avvalo n=1 uchun tekshiriladi. So`ngra aytilgan tasdiqni n=k uchun rost bo’lsin deb faraz qilib, uning rostligi n=k+1 uchun isbotlanadi. Shundan so’ng, A(n) tasdiq barcha n(n N) lar uchun isbotlangan hisoblanadi. Bularga asosan, agar A(n) tasdiq n=1 da rost bo`lsa, u navbatdagi n=1+1=2 son uchun ham rost bo`ladi. Tasdiqning n=2 uchun rostligidan uning n=2+1=3 uchun rostligi kelib chiqadi. Bundan esa tasdiqning, o`z navbatida, n=4 uchun rostligi kelib chiqadi va hokazo. Shu yo`sinda, ixtiyoriy n natural songacha yetib boramiz. Demak, A(n) tasdiq ixtiyoriy n uchun o`rinlidir. Aytilganlarni umumlashtirib, ushbu umumiy prinsipni ifodalaylik.
I. n=1da A(n) mulohazaning rostligi tekshiriladi;
II. n=k da A(n) mulohaza rost bo`lsin deb faraz qilib, n=k+1 uchun A(n) mulohazaning rostligi, ya`ni A(k) A(k+1) isbotlanadi. Shundan so`ng, A(n) mulohaza barcha n lar uchun rost deb xulosa qilinadi.
1.1.1-misol. Yuqoridagi prinsipga asoslanib, ixtiyoriy n natural son uchun ushbu tenglikni isbotlang:
1+2+3 +…+ n= (1)
Isboti . Bu yerda va bundan keyin misoldagi tasdiqni A(n) deb belgilaymiz.
I. n=1 bo`lganda 1=1, demak, A(1) to`g`ri.
II. Ixtiyoriy k natural son uchun A(k) ning to`g`riligidan A(k+1) ning kelib chiqishini isbotlaymiz.
(2)
to`g`ri bo`lsin. (2) munosabatdan foydalansak:

hosil bo`ladi, bu esa A(k+1) ning o`zidir.
Matematik induksiya prinsipiga asoslanib (1) dan iborat tasdiq har qanday n natural son uchun to`g`ri deb xulosa qilamiz. Matematik induksiya prinsipiga asoslangan isbotlar isbotlashning matematik induksiya metodi deyiladi. Matematik induksiya metodiga asoslanib biror tasdiqni isbotlashda yuqorida ko`rsatilgan I va II punktlarni har birini tekshirish (isbotlash) juda muhimdir. Agar ulardan birortasini hisobga olmasak, chiqarilgan xulosa to`g`ri bo`lmay qolishi mumkin. I punktni isbotlamasdan, faqat II punktga asoslanib xulosa chiqarsak, chiqarilgan xulosa xato bo`lishi mumkin.
1.1.2-misol. Har qanday natural son o`zidan keyin keluvchi natural songa teng.
Isboti. k=k+1 (3) bo`lsin deb faraz qilaylik. U holda k+1=k+ 2 (4) hosil bo`ladi. Haqiqatan ham, (3) ning ikkala tamoniga 1 ni qo`shsak, (4) kelib chiqadi. Bundan, agar tasdiq n=k uchun rost bo`lsa, u holda n=k+1 uchun ham rost ekani kelib chiqadi.
Natija. Barcha natural sonlar o’zaro teng. Natijaning xatoligi o’z-o’zidan ravshan. Bu xato qayerdan kelib chiqdi?
Xato shundan iboratki, matematik induksiya prinspini qo’llash uchun zarur bo’lgan I punkt isbotlanmadi , faqat II punkt isbotlandi, xolos.
I punkt induksiya bazasi (asosi) deyiladi. II punktda esa induksiya bazasi istalgan n natural son uchun kengaytiriladi. Agar I punkt tekshirilmay, faqat II ning o’zi isbotlansa, u holda induksiya bajarish uchun asos yaratilmaydi, shu sababli isbotlangan narsaning ma’nosi bo’lmaydi, chunki kengaytirilishi kerak bo’lgan bazaning o’zi yo’q.