Toshkent davlat texnika universiteti "oliy matematika" kafedrasi

 

 

c)  

.

7

3

3

4

x

ctg

y

x





    Berilgan funksiyaning hosilasini toping 

Yechish.   

.

7

sin

3

21

7

3

3

ln

4

21

)

7

sin

1

(

3

7

)

4

(

3

ln

3

'

3

2

3

3

2

3

2

3

3

4

4

4

4

x

x

x

ctg

x

x

x

ctg

x

y

x

x

x

x































 

d)        





2

2

ln

2

1

y

x

x

y

arctg





 оshkоrmаs funksiyaning xоsilаsini tоping. 

 

Yechish. Оshkоrmаs funksiyaning xоsilаsini tоpish uchun 

y

 ni 

x

 ning funksiyasi dеb 

x

y



 

xоsilаni tоpаmiz. 













y

x

y

x

y

y

x

y

y

x

y

x

y

y

x

y

y

y

x

y

x

y

y

x

y

y

x

y

x

y

x

y

y

x

y

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

x

y

arctg

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







































































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

ln

2

1

 

 

40 

 

 

7-misol.   

3

2

)

3

(

x

x

y





 funksiyani to‟la tekshirib uning grafigi yasalsin. 

1. Funksiya barcha 

R

x



 lar uchun aniqlangan. 

2. Funksiyaning uzilish nuqtalari mavjud emas, grafik Ox o‟qini x=-3 va x=0 nuqtalarda 

kesib, koordinata boshidan o‟tadi. 

3. Funksiya juft ham, toq ham, davriy ham emas. 

4. Hosilani hisoblaymiz:  

3

2

)

3

(

2

)

(









x

x

x

x

f

. 

Hosila, x

1

=-2 da 0 ga teng va x

2

=-3 bilan x

3

=0 nuqtalarda mavjud emas. Ushbu nuqtalar, 

funksiyaning aniqlanish sohasini (-∞:-3), (-3;-2), (-2;0) va (0;+∞) kabi oraliqlarga ajratadi. Ulardan, 

(-∞:-3), (-3;-2) va  (0;+∞) oraliqlarda 

0

)

(





x

f

 bo‟lib, (-2;0) oraliqda esa, 

0

)

(





x

f

 dir. Bundan 

ko‟rinmoqdaki, funksiya (-∞:-2) va (0;+∞) oraliqlarda o‟suvchi bo‟lib, (-2;0) oraliqda esa, 

kamayuvchidir. Shuningdek x

1

=-2 maksimum nuqtasi bo‟lib, 

3

max

4



y

  hamda x

3

=0 esa, 

minimum nuqtasidir va y

min

=y(0)=0;  x

2

 =-3 nuqtada funksiya ekstremumga ega emas. 

5. Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: 

3

5

4

)

3

(

2

)

(









x

x

x

f

 

bu hosila argument x ning hech bir chekli qiymatida 0 ga teng bo‟la olmaydi. Shu sababli, ikkinchi 

tartibli hosila mavjud bo‟lmaydigan nuqtalargina ya‟ni, x

2

=-3 bilan x

3

=0 nuqtalargina egri chiziq 

burilish nuqtalarining absissalari bo‟lishi mumkin. Ushbu nuqtalar orqali, funksiyaning aniqlanish 

sohasini  (-∞:-3), (-3;0) va  (0;+∞) kabi bo‟laklarga ajratib, ularning har birida f(x) ning ishoralarini 

aniqlaymiz: (-∞:-3) oraliqda f"(x)>0 bo‟lganligi uchun u oraliqda egri chiziq botiq bo‟lib, (-3;0) 

bilan (0;+∞) oraliqlarda f"(x)<0 bo‟lganligidan, egri chiziq u oraliqlarda qavariqdir. x

2

=-3 

nuqtaning atrofida f"(x) ning ishoralari turli xil bo‟lganligi uchun M(-3;0) nuqta, egri chiziqning 

burilish nuqtasidir. Ammo, x

3

=0 nuqta atrofida f"(x) ning ishorasi bir xil bo‟lganligi sababli, u 

burilish nuqtasi bo‟la olmaydi. 

6. Qaralayotgan funksiya cheksiz uzilish nuqtalariga ega bo‟lmaganligi bois, vertikal 

asimptotalari yo‟q. Og‟ma asimptotalar mavjudligini  tekshiramiz: 

,

1

3

1

lim

)

3

(

lim

lim

3

3

2

























x

x

x

x

x

y

k

x

x

x

 

41 

 























,

1

1

)

3

1

(

)

3

1

(

3

lim

)

3

(

)

3

(

3

lim

)

3

(

)

3

(

)

3

(

lim

)

3

(

)

3

(

)

3

(

)

3

(

)

3

(

lim

)

3

(

lim

)

(

lim

3

3

2

2

3

2

3

4

2

2

2

3

2

3

4

2

3

2

2

3

2

3

4

2

2

3

2

3

4

2

3

2

3

2













































































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

kx

y

b

x

x

x

x

x

x

 

Demak, y=x+1 to‟g‟ri chiziq og‟ma asimptota bo‟lar ekan. 

7. Funksiyaning grafigini chizishdan avval, grafik Ox o‟qini x

2

=-3  va x

3

=0  nuqtalarda 

qanday α burchak ostida kesib o‟tishligini aniqlash maqsadga muvofiqdir. Bu nuqtalarda u'=tgα=∞ 

ligi uchun 

2



 

 ga teng bo‟ladi. Agar x

3

=0 nuqta funksiyaning minimum nuqtasi bo‟lganligi 

sababli, funksiyaning grafigi bu nuqta atrofida Ox o‟qidan yuqorida joylashgan bo‟ladi, hamda x

3

=0 

nuqta funksiya grafigining “qaytishi” nuqtasidir.  

8. Tekshirishlar natijasiga ko‟ra, qaralayotgan funksiyaning grafigini yasaymiz.  

 

                                                                           y 

 

                                                                                       

3

4

 

 

                                                    -4       -3    -2         -1         0     1                         x 

 

                                                                                              

3

16



 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-misol.      Quyidagi 

x

x

y

2

cos

sin

2





  funksiyaning 

]

2

;

0

[



  kesmadagi  eng  katta  va  eng 

kichik qiymatini toping.  

Yechish:  Kritik nuqtalarni topamiz:  '

2cos

2sin 2

y

x

x





. Agar 

0

'



y

 bo‟lsa 

,

0

cos

sin

4

cos

2





x

x

x

  

0

)

sin

2

1

(

cos

2





x

x

 ,agar 

,

0

cos



x

 bo‟lsa 

,

2

2





k

x





 agar 

2

1

sin



x

 bo‟lsa 

f

n

k

n

x

n









1

,

6

)

1

(





. 

42 

 

Hamma topilgan kritik nuqtalardan faqat 

2

,

6









x

x

 nuqtalar berilgan 

]

2

;

0

[



 kesmaga 

tegishli bo‟ladi. Funksiyaning 

2

,

6

,

0











x

x

x

 nuqtalardagi qiymatini hisoblaymiz: 

,

1

)

0

(



y

  

5

,

1

2

1

1

3

cos

6

sin

2

)

6

(

















y

,  

1

1

2

cos

2

sin

2

)

2

(

















y

. 

Demak, funksiya 

]

2

;

0

[



 kesmada eng katta qiymatini 

6





x

 nuqtada, eng kichik qiymatini x=0 va 

2





x

 nuqtada qabul qiladi: 

5

,

1

)

6

(





y

   

1

)

2

(

)

0

(







y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43 

 

ADABIYOTLAR RO‟YXATI 

 

1.  Claudio  Canuto,  Anita  Tabacco.  Mathematical  Analysis  I,  II.  Springer-Verlag  Italia,  Milan 

2015, 2010.  

2.  Soatov Yo.U Oliy matematika. T., O„qituvchi, 1995. 1- 3 qismlar. 

3.  Д.Писменный. «Конспект лекции по высшей математике», 1,2,3 часть. -M.: Айрис Пресс, 

2008.  

4.  Ю.Ф.  Сенчук.  Математический  анализ  для  инженеров.  1,2  часть-Харков:  НТУ  «ХПИ», 

2003.-408 с. 

5.  Axmedov A.B., Shodmonov G., Esonov E.E., Abdukarimov A.A., SHamsiyev D.N.  

Oliy matematikadan individual topshririqlar. –Toshkent: O‟zbekiston ensiklopediyasi, 2014. 

6.  Xurramov SH. R. Oliy matematika.1,2-qism. – Toshkent: “Tafakkur” nashriyoti, 2018. 

7.  Xolmurodov  E.,  Yusupov  A.I.,  Aliqulov  T.A.  Oliy  matematika.  1,2,3-qismlar.  –Toshkent: 

“NEXT MEDIA GROUP”, 2017. 

8.  John  James  Stewart.  Calculus.Seventh  editions.  Metric  version.  Brooks/Cole,  Cengage 

Learning, 2012. 

9.  Y.  Suhov,  M.  Kelbert.  Probability  and  Statistics  by  Example.  2nd  edition.  United  Kingdom. 

University printing house, Cambridge CB2 8BS, 2014. 

10. В.Е.Шнейдер,  А.И.Слуцкий,  А.С.  Шумов,  Краткий  курс  высшей  математики.  

-М.:, 1978., 1, 2-части. 

11. П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. ФИЗМАТЛИТ 2010й. 

12. А.П.Рябушко и др. Сборник задач индивидуальный заданий по высшей математике.  

1, 2-части. – Минск: высшая школа, 1991. 

Internet saytlari: 

1.  www. ziyonet.uz; 

2.  www. gaap.ru; 

3.  www. cip.com;  

4.  www. aicpa.ord;  

5. 

www.bilim.uz

;