Toshkent davlat texnika universiteti "oliy matematika" kafedrasi

a)  Kramer usuli. 

(1) chi sistemaning determinantlarini topamiz: 

asosiy determinant:                                        

 3    -1   2 





    -2     1    1   = -9-1+8-2+6+6=8

0



; 

1  -2  -3  

 

 



 o„zgaruvchining determinanti: 

36 

 

11  -1  2 







  -6    1  1   = -33-5+24-10+22+18=16; 

 

 5  -2  -3  



 o„zgaruvchining determinanti: 

 

3  11   2 

    







-2   -6   1   = 54+11-20+12-15-66=-24; 

 

1   5   -3  

 

 



 o„zgaruvchining determinanti: 

 

3  -1   11 

  







 -2   1   -6   = 15+6+44-11-36-10=8. 

 

1  -2    5  

Kramer formulasiga asosan (1) ning echimi:     

1

8

8

,

3

8

24

,

2

8

16















































         bo„ladi. 

 

b)   Gauss usuli: 

 

       

11

2

3













, 

 

       

6

2

















, 

 

 

 

       

5

3

2













. 

 

Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridagi   



 larni yo„qotish uchun birinchi tenglamani 2-

ga, ikkinchi tenglamani 3-ga ko„paytirib, ikkinchi tenglama bilan uchinchi tenglamani 3 ga 

ko„paytirib, birinchi tenglama bilan mos ravishda qo„shamiz: 

 

       

11

2

3













, 

 

       

4

7









, 

 

 

(2) 

      

4

11

5











. 

(2) sistemadagi uchinchi tenglamadan 



  ni yo„qotish uchun ikkinchi tenglamani 5 ga ko„paytirib, 

uchinchi tenglama bilan qo„shamiz: 

 

       

11

2

3













  

       

4

7









 

 

 

(3) 

      

24

24









 

(3) sistemaning uchinchi tenglamasidan  

1





  ni topamiz, so„ngra uni ikkinchi tenglamaga qo„yib,   



 =-3 va birinchi tenglamaga qo„yib,   



= 2  ni hosil qilamiz. 

 

Javob: 



= 2, 



 =-3, 

1





,   . 

 

 

 

37 

 

c)  Matritsalar usuli. 

Ma‟lumki, AX= В matritsali tenglamaning echimi X=A

-1

В bo„ladi. 

(1) chi sistema uchun A, X va В lar quyidagicha bo„ladi: 

 













































































5

6

11

,

,

3

2

1

1

1

2

2

1

3

B

X

A







.     

A

-1

 teskari matritsani aniqlaymiz. YUqorida A matritsaning determinanti  

det A=



 hisoblangan edi: ya‟ni 

0

8







. Endi teskari matritsaning algebraik to„ldiruvchilari 

j

i

A

- ni topamiz: 

,

1

2

3

3

2

1

1

11

















A

 

 

,

5

1

6

3

1

1

2

12



















A

 

,

3

1

4

2

1

1

2

13













A

 

 

,

7

4

3

3

2

2

1

21





















A

 

,

11

2

9

3

1

2

3

22















A

 





,

5

1

6

2

1

1

3

23



















A

 

,

3

2

1

1

1

2

1

31















A

   

 

,

7

4

3

1

2

2

3

32















A

      

.

1

2

3

1

2

1

3

33













A

 

 

Natijada, quyidagi teskari matritsa  hosil bo„ladi: 

 

.

1

5

3

7

11

5

3

7

1

8

1

1





































A

 

U holda echim: 

 













































































































1

3

2

8

24

16

8

1

5

6

11

1

5

3

7

11

5

3

7

1

8

1

1

B

A

X

 

 

 

 

Javob:   

.

1

,

3

,

2















 

 

 

3-misol.      4

3

5

0

x

y

z



  

  tekislik  bilan 

1

2

3

3

1

4

x

y

z













  to‟g‟ri  chiziqning  kesishish 

nuqtasining koordinatalarini toping. 

Yechish.  Tekislikning  umumiy  tenglamasi 

:

0

( )

D

Ax

By

Cz

D

a









  to‟g‟ri  chiziqning 

kanonik  tenglamasini  parametrik  ko‟rinishdagi 

1

1

1

:

,

,

( )

L x

x

mt y

y

nt z

z

pt

b









 

 

tenglama  ( )

a   ga  qo‟yish  natijasida 

1

1

1

(

)

(

)

0

Am

Bn

Cp t

Ax

By

Cz

D















  ko‟rinishdagi 

tenglama hosil bo‟ladi. Bundan 

1

1

1

Ax

By

Cz

D

t

Am

Bn

Cp













                   (1) 

38 

 

Agar 

0

Am

Bn Cp







 bo‟lsa, to‟g‟ri chiziq bilan tekislik kesishadi. U holda (1) ni 

( )

b  ga qo‟yish 

natijasida kesishish nuqtasining koordinatalari topiladi. 

Agar 

1

1

1

0

0

Am

Bn Cp

Ax

By

Cz

D















 



 bo‟lsa 

L

D

  

 bo‟ladi. 

Agar  

1

1

1

0

0

Am

Bn Cp

Ax

By

Cz

D















 



 bo‟lsa, u holda to‟g‟ri chiziq tekislikda yotadi. 

Berilgan misolda (17) formula yordamida 

t

 parametrni topish mumkin: 

1

2

3

1 3 ,

2

,

3 4

( )

3

1

4

x

y

z

t

x

t y

t z

t

b











    

 

 



 aniqlab olamiz: 

            

4 ( 1)

( 3) 2 1 3 5

12

4 3 3( 1) 1 4

19

t

       

 



    

  

   

( )

b  dan  M  nuqtaning koordinatalarini topamiz. 

    

36

17

1 3

1

19

19

x

t

     



 

12

26

2

19

19

y

 



 

48

105

3

19

19

z

 



  

                                      

17 26 105

;

;

19 19 19

M













  

 

4-misol.    

(3; 4; 2)

M

 nuqtadan o‟tib, 

3

4

2

2

3

6

x

y

z











 to‟g‟ri chiziqqa parallel bo‟lgan to‟g‟ri 

chiziq tenglamasini tuzing. 

Yechish. 

(3; 4; 2)

M

 nuqtadan o‟tuvchi to‟g‟ri chiziqning kanonik tenglamasi 

                            

3

4

2

x

y

z

m

n

p











 

Bu to‟g‟ri chiziq berilgan to‟g‟ri chiziqqa parallel bo‟lgani uchun ikki to‟g‟ri chiziqning parallellik 

shartiga  asosan: 

2,

3,

6

m

n

p







  bo‟lishi  kerak.  U  holda  to‟g‟ri  chiziq  tenglamasi                                                

3

4

2

2

3

6

x

y

z











   

 

5-misol.    a)  

.

8

2

3

6

13

5

lim

2

2

2













x

x

x

x

x

 ko‟rsatilgan limitlarni toping 

 

Yechish:  

7

,

0

10

7

4

3

3

5

lim

)

4

3

)(

2

(

)

3

5

)(

2

(

lim

8

2

3

6

13

5

lim

2

2

2

2

2









































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

b) 

.

64

5

21

lim

3

4









x

x

x

 ko‟rsatilgan limitlarni toping 

Yechish:  





























)

5

21

)(

64

(

)

5

21

)(

5

21

(

lim

64

5

21

lim

3

4

3

4

x

x

x

x

x

x

x

x

 





















)

5

21

)(

16

4

)(

4

(

25

21

lim

2

4

x

x

x

x

x

x

 

.

480

1

)

5

21

)(

16

4

(

1

lim

)

5

21

)(

64

(

4

lim

2

4

3

4



























x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

c)  

.

3

2

2

lim

5

2

x

x

x

x





















  ko‟rsatilgan limitlarni toping 

39 

 

Yechish:    

















































x

x

x

x

x

x

x

x

5

2

5

2

1

3

2

2

1

lim

3

2

2

lim

 























































x

x

x

x

x

x

x

x

5

2

5

2

3

2

3

1

lim

3

2

3

2

2

1

lim

.

lim

3

2

3

1

lim

2

/

15

)

3

2

/(

)

5

2

(

3

)

3

2

/(

)

5

2

(

3

3

/

)

3

2

(



























































e

e

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

 

d)  





1

arcsin

1

lim

3

1









x

x

x

    ko‟rsatilgan limitlarni toping 

Yechish:  

























3

1

1

arcsin

1

lim

1

arcsin

1

1

lim

1

arcsin

1

lim

2

1

2

1

3

1









































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

 

6-misol.   a)  

.

)

1

(

6

)

1

3

2

(

3

4

3

2











x

x

x

y

    Berilgan funksiyaning hosilasini toping 

Yechish.   

.

)

1

(

18

1

3

2

3

4

4

3

)

1

)(

3

(

6

)

3

4

(

)

1

3

2

(

4

3

'

4

4

2

4

4

1

2































x

x

x

x

x

x

x

x

y

 

 

b)  

.

3

arccos

)

2

(

2

5

x

x

tg

y







    Berilgan funksiyaning hosilasini toping 

Yechish.   

.

6

9

1

1

)

2

(

3

arccos

)

2

(

cos

1

)

2

(

5

'

4

5

2

2

4

































x

x

x

tg

x

x

x

tg

y

4

5

2

2

4

9

1

6

)

2

(

)

2

(

cos

3

arccos

)

2

(

5

x

x

x

tg

x

x

x

tg















