U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

Isboti: Matematik induksiya usulidan foydalanib, formulalarni
isbotlashimiz mumkin. 
Induksiya bazasi: 
uchun
formula 
to„g„ri.
Induksion o‘tish: 
uchun formula to„g„ri deb hisoblab, 
uchun to„g„ri ekanligini ko„rsatamiz. Buning uchun
formulani e‟tiborga olib, quyidagilarni hosil qilamiz: 
( 
) 
Agar 
ni deb olsak, (2) formulaning to„g„ri ekanligi kelib chiqadi.
Bu yerda 
sonlar binomial koeffitsiyentlar hisoblanib, uning 
qiymatlaridan binom formulasining quyidagi xossalari kelib chiqadi.
Binom formulasining xossalari: 
1. 
sonining daraja ko„rsatkichi kamayib boradi, sonining daraja 
ko„rsatkichi esa ortib boradi. Ularning daraja ko„rsatkichlari yig„indisi 
songa teng. 
2. Binomial yoyilma 
ta haddan iborat. 
3. Binomial koeffitsiyentlar yig„indisi 
ga teng. Agar 
deb 
olinsa,
tenglik kelib chiqadi.
4. Yoyilmaning istalgan hadi 
ifodadan iborat. 

---

43 
5. Yoyilmaning chetlaridan teng uzoqlikda turgan hadlarining koeffit-
siyentlari o„zaro teng. Chunki bu koeffitsiyentlar Paskal uchburchagini 
ifodalaydi. 
6. Toq o„rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig„indisi juft o„rinda 
turgan binomial koeffitsiyentlar yig„indisiga teng. Agar 
va 
deb olinsa,
tenglik kelib chiqadi. 
7. 
tenglik o„rinli. Chunki,
8.  
natural sondan oshmaydigan eng katta toq son uchun
tenglik hamda 
natural sondan oshmaydigan eng katta juft son uchun
tenglik o„rinli.
9. Toq 
son uchun
va 
juft 
son uchun 
va 
munosabatlar o„rinli.
Agar 
toq son bo„lsa,
butun son bo„lib,

---

44 
o„rinli. Demak, 
toq son bo„lsa, binomial koeffitsiyentlar qatorining 
ikkita hadi tengligi kelib chiqadi: 
. 
10. Agar 
juft son bo„lsa, binom yoyilmaning o„rta hadi
ifodadan iborat bo„lib, u eng katta va yagonadir, agar 
toq son bo„lsa, 
o„rta had mavjud emas. Faqat yoyilmaning o„rtasidagi ikkita had teng.