XiYaSOva aynURa sobolev tiPİndegi keńİSLİkler ushin n. N. LuziNNİŃ QÁSİyeti

§ 2.4 Ekinshi bap boyınsha juwmaq
Bul bapta funkcionallıq keńislikler, Xausdorf ólshemleri hám Lebeg tochkalarınıń anıqlamaları hám bir qatar járdemshi tastıyqlawlar keltirildi.
Sonıń menen birge kópliklerdiń razmerlerin bahalawda apparat xızmetin atqaratuǵın sıyımlılıq kiritildi hám úyrenildi.
Birtekli tiptegi ulıwma keńislikler jaǵdayında de klasslar ushın sıyımlılıqlar teoriyasın finlyandiyalı matematikler Kunnenen Yu. hám Martio O. [29] jumısında qurıldı hám úyrenildi.
Baptaǵı tiykarǵı nátiyjeler tómendegiler: sıyımlılıq penen berilgen ólshem arasında (2.4-teorema) hám Xausdorf ólshemleri arasında
(2.6-teorema) óz-ara baylanıslar ornatıldı, sonday-aq, Lebeg tochkaları haqqında 2.6-teorema
[2, 3, 12, ,13, 18].


III BAP.SOBOLEV KLASSLARI USHIN LUZİNNİŃ JUWIQLAW HAQQINDA TEOREMASI


§ 3.1. Sobolev keńislikleri. Tegis funkciyalar menen juwıqlaw
3.1.1. Ulıwma anıqlaması. Meyli de shegaralanǵan jabıq oblast berilgen. da márte úzliksiz differensiallanıwshı haqıyqıy funkciyalardıń sızıqlı keńisligin qaraymız. Jabıq oblastta differensiallanıwshılıq túsinigin hár qıylı mániste túsiniw múmkin. Biz da funkciyalar márte úzliksiz differensiallanıwshı dep uyǵaramız, onıń ústine funkciyanıń hárbir dara tuwındısı tochka oblasttıń qálegen shegaralıq tochkasına umtılǵanda limitke iye, sol sebepli onıń ǵa dawam etiwi nátiyjesinde ol da úzliksiz boladı. oblasttıń shegarası jeterli she tegis dep uyǵarıladı hám oblasttı bir baylamlı dep esaplaymız.
arqalı barlıq sheksiz differensiallanıwshı hám bazıbir aralıqtan sırtta nolge teń (kompakt tasıwshıǵa iye) funkciyalar klassın belgileymiz.
İndeksler jıynaǵı multi indeks delinedi, sanı multi indeks uzınlıǵı. Dara tuwındılardı belgilewde
qabıl etemiz. dárejesi menen lokal integrallanıwshı barlıq funkciyalar kópligi, yaǵnıy , eger , - orayı tochkada bolǵan ashıq shar.


da barlıq úzliksiz funkciyalar kópligi.
Meyli . Funkciya funkciya tiń tártipli ulıwmalasqan tuwındısı delinedi, eger qálegen ushın tómendegi teńlik orınlı
. (3.1)
Eger , onda . Bóleklep integrallaw járdeminde funkciya ushın tártipli ádettegi dara tuwındılar ulıwmalasqan tuwındılar menen birdey bolatuǵınınaiseniwge boladı.
Joqarıda qarap ótken sızıqlı keńislikte tómendegi normanı qaraymız
(3.2)

Alınǵan normalanǵan keńislikti arqalı belgileymiz. Onıń (3.2) normada tolıqtırması arqalı belgilenedi hám Sobolev keńisligi delinedi.

Sobolev klası de barlıq funkciyalar kóplikligi (ekvivalentlik klassları) retinde anıqlanadı, olar barlıq multiindeksler ushın tártipli ulıwmalasqan tuwındılarǵa iye. Usınday kiritilgen keńislik tómendegi normaǵa qarata
(3.3)
Banax keńisligi bolıp tabıladı.
Ámeliy máselelerde jiyi jaǵday ushırasadı. Bunda ulıwma belgilew qabıl etilgen: . Sobolev keńisligi Gilbert keńisligi bolıp tabıladı– keńisliktiń tómendegi skalyar kóbeymeniń
normasında dóregen tolıqtırması.
‟ Sobolev keńislikleriniń áhmiyeti sonnan ibarat, olar járdeminde dara tuwındılardıń qásiyeti neshelewler sáykes funkciyanıń óziniń qásiyetine sheklewler qoyatuǵınlıǵın baqlawǵa boladı‟ – [18, 146-b. qarań].
Sobolev keńislikleri ámeliy jaqtan qálegen maqsetke qolaylı formada funkciyalardıń teń ólshemli úzliksizligin anıqlawǵa múmkinshilik beredi. Mine usı sebebten de olardı matematikanıń kóp tarawlarında qollanıladı.
Uqsas xızmetti Sobolev keńislikleriniń hárqıylı ulıwmalasıwları, mısalı, diń pútin emes mánisleri ushın ulıwmalasıwı atqaradı. Usı klaslardan alınǵan funkciyalardıń hárqıylı qásiyetlerine arnalǵan kóp sandaǵı jumıslar bar (mısalı, Mazya V.G, Mamontov A.E, Nikolskiy S.M. lerdiń miynetlerinde [8], [9], [10] hám usı kitaplardaǵı bibliografiyaǵa qarań).
, Sobolev keńisligi sonday funkciyalardan (ekvivalent klasslardan) turadı, olar ushın . Bunda ulıwmalasqan funkciyalar mánisindegi dara tuwındılar vektorı
([18, §2.1, 143-144-b.]):
bunda – multiindeks. tómendegi normaǵa qarata Banax keńisligi bolıp tabıladı


.


ólshemli ıqtiyariy metrikalıq keńislikte , Sobolev klassları polshalı matematik Xaylash P. tárepinen 1996-jılı kiritildi
([22, 23]):



barlıq jerde. Bul klasslar tómendegishe normalanadı
.
jaǵdayda keńislik klassikalıq Sobolev keńisligi menen birdey boladı [22].
2003-jılı Xu Ya. hám Yang D. jumıslarında , Sobolev keńislikleriniń bólshek shkalaları payda boldı [27]:

barlıq jerde. Bul klasslar tómendegishe normalanadı
Házirgi waqıtta bul keńisliklerdiń qálegen metrikalıq keńislikte birqatar ekvivalent táriplewi bar [4-27].