Задачи, содержание начального курса математики. Основные подходы к построению начального курса математики

6. 1. Общие вопросы методики изучения арифметических действий.
В нач.школе изучают 4 арифметические действия: + - : х. Эти действия рассматриваются на множестве целых неотрицательных чисел. При изучении а.д. выдел. 2 взаимосвязанные линии:
1. формирование знаний об а.д.
2 формирование вычислительных умений и навыков.
1. Рассм. совокупность теоретич. знаний об а.д., которые изуч-ся в нач.школе.

1. 
   знание конкр. смысла а.д. По своей сути это знание определения а.д. С учетом того. Что дети эти определения в нач.школе осознать не могут в полной степени, Бантова вместо термина определения а.д. ввела «КС а.д.». Т. к. все действия в нач.школе вводятся ,как правило, на тоеретико-множественной основе. То КС любого действия заключ-ся в установлении связи между операциями над множествами и соответствующими операциями над числами. Н-р, действия сложения на множестве цел.неотр.чисел связывают с операцией объединения конечн. Непересекающ-ся множеств.
   
2. 
   знание терминологии и символики а.д.
   

4-3 (7 способов)

• 
  разность чисел 4 и 3
  
• 
  уменьшаемое 4, вычитаемое 3
  
• 
  4 уменьшили на 3
  
• 
  От 4 отнять 3
  
• 
  Из 4 вычесть 3
  
• 
  4 без 3
  
• 
  4 минус 3
  

3. знание свойств а.д..

Свойство а.д.- это математическое предложение о тождественном преобразовании выражений. Н-р:

1. 
   Свойство умножения суммы на число
   

(а+в) х с= ахс + вхс – замена выражений, тождественно равным ему
Б. свойство деления числа на произведение
а:(вхс)=(а: в):с=(а:с):в
Замечание:
есть свойство, которое изуч-ся во всех программах обучения детей мат-ке, но есть и свойства, которые изуч-ся в отдельных программах.
4. знание связи между взаимообратн. действиями. Это знание может быть сформулировано по разному:

• 
  Взаимосвязь между результатом и компонентами а.д.- это математ. предложение о том, как по результату и одному из компонентов получить другой компонент.
  

Н-р, действие вычитания: уменьш., вычитаем., разность
Р Р
5-3=2
У В ЗР(значение разности)
Взаимосвязь между рез-ом и компонентами действия вычитания:
1) если к Р прибавить В, то получим У
2) если из У вычесть Р, то получим В

• 
  Связь между прямым и обратным действием: вычитание обратно сложению, сложение обратно вычитанию.
  
• 
  Проверка одного действия другим: вычитание с помощью сложения, деления - умножения.
  
• 
  Связь между целым и частями.
  

5. знание зависимости между рез-ом и комп-ми а.д. - это математич. предложение о том, как измен-ся рез-т а.д. в зависимости от изменения одного из комп-в.
Н-р, зависимость комп-в действия вычитания: если В увеличить на неск-ко единиц, то уменьшится на столько же единиц Р.
6. знание отношений между компонентами а.д., а также между компонентами и рез-ми.
Н-р, Р не больше У, У не меньше В.
7. знание правил(аксиом) а.д..
Н-р, аксиома: ах0=0, ах1=а, а не делится на 0.
8. знание алгоритмов выполнения а.д.
Все эти знания могут изуч-ся на разных уровнях: эмпирическом или понятийном. Если знание изуч-ся на понятийном (теоретич.) уровне, то от учащихся треб-ся знание обобщенной формулировки (правила). Если знание изуч-ся на эмпирическом уровне, то от учащихся требуется пояснить(применить) это знание на конкретном примере.


2. Формирование вычислительных умений и навыков основано на освоении вычислит. приемов.
вычислит. прием – система операций, которую надо выполнить над числами, чтобы получить результат примера
1) Н-р, рассмотрим вычисл. прием вычитания однозначного числа из двузначного с переходом через разряд. Коротко рассмотрим вычисл. прием вида 42-7
42-7=(42-2)-5=40-5=35 (42 - 40 и 2, 7 - 2 и 5)

1. 
   42=40+2 вспомогат. операция
   
2. 
   7=2+5 вспомогат. операция
   
3. 
   42-2=40 основная операция
   
4. 
   40-5=35 основная операция
   

Все операции делятся на осн. и вспомогат. Основные операции – те, которые являются а.д. Система операций определяется теоретич. знаниями. Основное теоретич. знание, которое влияет на эту систему операций, назыв-ся теоретич. основой вычислительного приема. Теоретич. основой данного приема является знание свойства вычитание суммы из числа.
42-7=42-(2+5)= (42-2)-5
Это свойство в нач. школе специально не изуч-ся, оно использ-ся в неявном виде (на примере).
2) рассмотрим устный вычислит. прием в пределах 100 деления двузначного числа на однозначное. Коротко рассмотрим прием вида 98:7
98:7=(70+28):7=70:7+28:7=10+4=14
1 вспом. операция нахожу наибольшее круглое число, которое делится на 7
теоретическая основа – свойство деления суммы на число
Все вычислительные приемы можно разбить на группы в зависимости от их теоретической основы:
1. Приемы, теоретическая основа которых – К. С. а. д. К ним относятся: приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида а+-2, 3, 4, 0; приемы табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения, деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, приемы умножения 1 и 0.
2. Приемы, теоретической основой которых служат свойства а. д. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 2 + 8, 54 +- 20, 27 +- 3, 40 – 6, 45 +- 7, 50 +-23, 67 +-32, 74 +- 18; аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14х5, 5х14, 81:3, 18х40, 180:20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел больших 100 и приемы письменного умножения и деления.
3. Приемы, теоретическая основа которых – связи между компонентами и результатами а. д.
К ним относятся приемы для случая вида 9-7, 21:3, 60:20, 54:18, 9:1, 0:6.
4. Приемы, теоретическая основа которых – изменение результатов а. д. в зависимости от изменения одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении вычитания чисел (46+19, 512-298) и приемы умножения деления на 5, 25, 50.
5. приемы, теоретическая основа которых – вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида а+-1, 10+6, 16-10, 16-6, 57х10, 1200:100; аналогичные приемы для больших чисел.
6. приемы, теоретическая основа которых – правило. К ним относятся приемы для двух случаев: ах1, ах0.