5-§. To’liq differensialli tenglamalar. Integrallovchi ko’paytuvchi

5-§. To’liq differensialli tenglamalar. Integrallovchi ko’paytuvchi.
Matematik analiz kursidan ma’lumki ikki o’zgaruvchili funksiyaning to’liq differensiali formula bilan hisoblanadi.

5.1. - Ta’rif. Agar

(5.1)

tenglamaning chap tomoni qandaydir funksiyaning to’liq differensiali bo’lsa, ya’ni

(5.2)

bu yerda , u holda (5.1) ko’rinishdagi tenglamaga to’liq differensialli tenglama deyiladi.

5.1.-Teorema. Agar lar sohada uzluksiz bo’lsa, u holda (5.1) tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lishi uchun
(5.3)

tenglik o’rinli bo’lishi zarur va etarli.

1-Misol. tenglama to’liq differensialli bo’lishini tekshiring.

Yechish: Berilgan tenglama (5.1) ko’rinishdagi tenglama bo’lib,

.

Endi 5.1.- teorema shartini ya’ni (5.3) tenglik bajarilishini tekshirib ko’ramiz.

.

Demak, tenglik bajarildi, ya’ni berilgan tenglama to’liq differensialli tenglama ekan.

Agar (5.1) tenglama to’liq differensialli tenglama ekani ma’lum bo’lsa (5.2) dan tenglama hosil bo’ladi, bu tenglamaning yechimi esa ekani ma’lum. Demak, (5.1) tenglamaning chap tomoni biror bir funksiyaning to’liq differensiali bo’lsa, bu tenglamaning yechimi ko’rinishda bo’ladi.

2-Misol. tenglamani yeching.

Yechish: Berilgan tenglama (5.1) ko’rinishdagi tenglama bo’lib,

.

Demak, berilgan tenglama to’liq differensialli tenglama va uni

ko’rinishda yozish mumkin, bundan tenglamaning yechimi

ko’rinishda bo’ladi.

Har doim ham (2-misoldagidek) funksiyani to’g’ridan-to’g’ri topib bo’lavermaydi. funksiyani topish uchun quyidagi ketma-ketlik amalga oshiriladi. (5.2) tenglikdan bizga ma’lumki

ga teng.

Shu tengliklarni birinchisini integrallab,

(5.4)

ga ega bo’lamiz, bu yerda va - ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiyalar.

(5.4) ni y bo’yicha differensiallab, quyidagini

(5.5)

Hosil qilamiz. (5.5) dan ni topib, (5.4) ga qo’ysak, biz izlagan funksiya topiladi.