Эффективная масса электронов и дырок Дифференциальное уравнение плоских волн Атом водорода

Ташкентский Университет Информационных Технологий имени Аль-Хорезми

Самостоятельная работа по предмету

«Физика»
ТЕМА: “ Эффективная масса электронов и дырок
Дифференциальное уравнение плоских волн
Атом водорода”

Выполнил: Камалов Кайирбек
Студент группы 075-22

Проверил: Имамов Е.
Ташкент 2023
План:
1. Эффективная масса электронов и дырок
2. Дифференциальное уравнение плоских волн
3. Атом водорода

Эффекти́вная ма́сса — величина, имеющая размерность массы и применяемая для удобного описания движения частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона �0  (9,11×10⁻³¹ кг). Эффективная масса электрона в кристалле (электрон проводимости), вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме и может быть как положительной, так и отрицательной^[1].

Понятие эффективной массы[править | править код]

Изотропный вариант[править | править код]

Если закон дисперсии �=�(�→)  электронов в конкретном кристаллическом веществе таков (или с приемлемой точностью может считаться таким), что энергия �  зависит только от модуля волнового вектора � , то эффективной массой электрона, по определению, является величина^[2]
�∗=ℏ2/[�2���2] ,
где ℏ  — постоянная Планка-Дирака.
Иногда в целях радикального упрощения этим приближением ограничиваются, как если бы изотропная ситуация была единственной возможной.

Физический смысл[править | править код]

Скорость движения электрона в кристалле равна групповой скорости электронных волн и определяется как
��=����=1ℏ���� .
Здесь �  — частота. Дифференцируя ��  по времени, определим ускорение электрона:
�=�����=1ℏ�2���2���� .
Сила, действующая на электрон в кристалле, составляет
�=����=ℏ���� ,
где �  — импульс. Из двух последних выражений получается
�=1ℏ2�2���2�=��∗ ,
откуда и виден смысл величины �∗  как некоей «массы».

Типичное поведение[править | править код]

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен и, таким образом, эффективная масса является постоянной и равной массе покоя электрона �0 .
В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. Тем не менее, кривая закона дисперсии �(�→)  вблизи своих экстремумов часто неплохо аппроксимируется параболой — и тогда эффективная масса �∗  также будет константой, хотя и отличной от �0 . При этом �∗  может оказаться и положительной (вблизи дна зоны проводимости), и отрицательной (вблизи потолка валентной зоны).
Далеко от экстремумов эффективная масса, как правило, сильно зависит от энергии �  (формулировка «зависит от энергии» уместна только для изотропного случая), и тогда оперирование ею перестаёт приносить какие-либо удобства.

Анизотропия массы[править | править код]

В общем случае эффективная масса зависит от направления в кристалле и является тензором. Принято говорить о тензоре обратной эффективной массы, его компоненты находятся из закона дисперсии^[3][4] �=�(�→) :
(1�∗)�,�=1ℏ2∂2�∂��∂�� ,
где �→  — волновой вектор с проекциями �� , �� , ��  на оси декартовой системы координат. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется как квазичастица, параметры движения которой зависят от направления относительно кристаллографических осей кристалла. При этом значения (1/�∗)�,�  зависят не от энергии, а от состояния, задаваемого вектором �→ .
Есть и другие подходы для вычисления эффективной массы электрона в кристалле^[5].
Как и в изотропном приближении, использование тензора обратной эффективной массы в основном ограничено областями вблизи экстремумов функции �(�→) . Вне этих областей — как, например, в случае анализа поведения популяции горячих электронов — рассматриваются непосредственно зависимости �(�→) , которые табулируются.