Ga intiladi, lekin


Download 49.95 Kb.
bet1/5
Sana30.04.2023
Hajmi49.95 Kb.
#1409535
  1   2   3   4   5
Bog'liq
f66a7a3f77332932fed3e3551d0591eb MATEMATIK ANALIZ 1-qism



2)


n ^да da


+ n +1} ketma -


ketliklar


mos


ravishda 0 va да ga intiladi, lekin n ^да da {xn yn }=h+


1 1 1
~+n n J


■ > 1.


3) n ^да da {xn }=


n


, {yn }= {n} ketma - ketliklar mos ravishda



0 va да ga intiladi, lekin {xn ■ yn }={(- 1)n} ketma - ketlik limitiga ega emas.
40. да-да ko‘rinishdagi aniqmaslik lim xn = да, lim yn = -да bo‘lsin. n^-да n^-да
U holda {xn + yn} ketma - ketlikning xarakteri ham turlicha bo‘lishi mumkin:

  1. {xn }= {2n}, {yn }= {- n} ketma - ketliklar mos ravishda +да va -да ga intiladi, lekin n ^да da {xn + yn }^да;

  2. {xn }= {n +1/ n}, {yn }= {- n} bu ketma - ketliklar mos ravishda +да va -да ga intiladi, {xn + yn }^ 0;

  3. {xn }= {n + (- 1)n+1} {yn }= {- n} ketma - ketliklar mos ravishda + да va -да ga intiladi, lekin, {xn }={n + (- 1)"'1} ketma - ketlik limitga ega emas. Yuqoridagi aniqmasliklardan tashqari 00,да0,1да ko‘rinishdagi aniqmasliklar ham mavjud. Bularni biz kelgusida ko‘rib o‘tamiz.

  1. §. Monoton ketma - ketliklar va ularning limiti. Monoton
    ketma - ketliklar haqidagi teoremalarning tatbiqlari


  1. Monoton kema - ketliklarning ta’rifi. {xn} ketma - ketlik berilgan bo‘lsin.

  1. Ta’rif.Agarda {xn} ketma - ketlikning hadlari Vn e N

uchun
xn+1 ^ xn (xn+1 ^ xn)
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda {xn} ketma - ketlikni o‘suvchi (kamayuvchi) deyiladi.

  1. Ta’rif Agarda{xn} ketma - ketlikning hadlari w <= n

uchun
Xn+1 > Xn (xn+1 < xn )
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda {xn} kema - ketlik qat’iy o‘suvchi (qat’iy kamayuvchi) deyiladi.
O‘suvchi va kamayuvchi ketma - ketliklar birgalikda monoton ketma - ketlik deb ataladi.
Agar {xn} ketma - ketlik o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lsa, u o‘zining birinchi elementi bilan quyidan (yuqoridan) chegaralangan bo‘ladi. Monoton ketma - ketliklarning chegaralanganligini tekshirish uchun ularning bir tomonlama chegaralanganligini tekshirish yetarli.
Misollar. 1) 1,1,-,-,...,-,-,... Kamayuvchi ketma - ketlik, u
2 2 n n
yuqoridan bir bilan, quyidan esa nol bilan chegaralangan.
2) 1,1,2,2,...,n, n...
ketma-ketlik o‘suvchi, u quyidan bir bilan chegaralangan, yuqoridan chegaralanmagan
,..12 3 n
J , , ,..., ,...
2 3 4 n +1
ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib u ikki tomondan ham chegaralangan, quyidan 1 bilan yuqoridan bir bilan chegaralangan

  1. 1,1,1,...,1,... ketma-ketlik qat’iy kamayuvchi ketma-ketlikdir.

2 3 n

  1. Monoton ketma - ketliklarning limiti haqidagi teoremalar. Ketma-ketliklarni o‘rganishdagi asosiy muammo-bu ketma-ketlik limitlarining mavjudligini ko‘rsatish haqidagi muammodir. Bu muammoni umumiy holda hal qilish, murakkab bo‘lsada, lekin ketma-ketliklarning ba’zi sinflari uchun bu masala oson yechiladi.

Ayniqsa, monoton ketma-ketliklar uchun limitning mavjudlik masalasi sodda yechimga ega. Biz bu 2.11-bandda monoton ketma- ketliklar limitining mavjudlik shartlarini o‘rganamiz.
2.11.1. Teorema. Agar {xn} ketma - ketlik o‘suvchi bo‘lib, u yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega va
lim xn = sup{xn}= a. n^ro
Isboti. Ketma - ketlik o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan bo‘lsin. {xn} ketma - ketlik yuqoridan chegaralanligi uchun ЯM> 0, Vn e N uchun xn <M tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa {xn} to‘plamning chegaralanganligini ifodalaydi. U holda 1.2.2-teoremaga asosan, 3sup{xn}= a. To‘plam aniq yuqori chegarasining xossasiga asosan Vn e N uchun
xn < a (2.11.2)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, ikkinchi tomondan Vs > 0 uchun ketma - ketlikning Яx elementi topiladiki, bu had uchun
.l > a - s (2.11.3)
n0 V
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. (2.11.2) bilan (2.11.3) dan ^Vs > 0,3n0 (s): Vn > n0 (s) uchun a-s < xnQ < xn < a ^ lim xn = a = sup{xn } kelib chiqadi.

  1. Teorema . Agar {xn} ketma - ketlik kamayuvchi bo‘lib quyidagi chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega va lim xn = inf {xn}.

n^»
Bu teoremaning isboti 2.11.1-teoremaning isboti kabi bo‘ladi. Yuqoridagi teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.

  1. Natija. O‘suvchi (kamayuvchi) ketma - ketlik

yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning yuqoridan (quyidan)
chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.

  1. Natija. Yaqinlashuvchi ketma - ketlik monoton bo‘lmasligi ham mumkin. Masalan, xn =( 1) yaqinlashuvchi va

n
uning limiti nolga teng, lekin u monoton emas.

















2.12. Monoton ketma-ketlikning limiti haqida teoremaning tadbiqlari. e-soni.
2.12.1. Misol. Ushbu

an
lim — = 0 (a e R) (2.12.2)
nn!
tenglikni isbotlang.
an
Isboti. Ravshanki lai < 1 bo‘lganda, lim — = 0. Faraz qilaylik
nn!

an
a > 1 bo‘lsin. x = — n n!

deb

belgilab, —^i nisbatni qaraylik: xn
^0.
xn n + 1 n

X„ + 1
Bundan Bn0 (n0 -istalgancha katta), Vn > n0 uchun -*— < 1, xn+1 < xn.
xn

Demak , {xn} ketma - ketlik Vn > n0 uchun kamayuvchi va 0 < xn. 2.11.4-teoremaga ko‘ra {xn} ketma - ketlik chekli limitga ega, yani lim xn = A > 0. 2.7.8-xossadan

A = lim xw+1 = lim xw • — = A 0 = 0. nnn + 1
Shunday qilib, (2.12.2) tenglik a > 0 uchun isbotlandi. a < 0 bo‘lganda ham (2.12.2) tenglik o‘rinli bo‘ladi, chunki
|a|n
= ^ ^ 0 .
n! n^»

an

n!

2.12.3 (e-soni). Misol. Ushbu
\+1)"
I n 7
ketma - ketliklar mos ravishda o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan,

1 V+1
■ (n = 1,2,...)

monoton kamayuvchi va quyidan chegaralanganliklarini hamda
1n
lim 1 +1

I

n

Z 1 X n+1
= lim 1 +1
I n 7

n


ekanligini ko‘rsating.



Isboti. Avvalo, x±1
xn


nisbatni qaraymiz:








n

Xn +1

Xn

(« +1)2

(n +1)

n+1 — 1, -^ > 1
n Xn



f1+41' к n +1

/

( 1 2
1 ' ,
n + 1

n+1
n + 1

' n(n + 2) Л

n+1
n + 1

' 13
1+- к n)

n

1+1 к n )

n

к(« + 1)(n + 1)


n


Xn+1


X n


'(n+1)2 -1 3n+1«+1 I (« +1)2 ) n


1 -


xn+1


n+1?,



keyingi tenglikning o‘ng tomoniga Bernulli tengsizligini qo‘llash natijasida





I '1 -11
2! к n )


+...+A '1 n ! к

n )

'1


tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan esa, {xn} ketma - ketlikning
o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday

У« _
y-1

z 1 x« +1
1 + - 111!
к n) 1 n +1 1 n +1
' 1 Y С 1 У' « \ n n ~
1+Л 1+-Л 1 +n^
4 n -1) к n -1) n 1
^2 1
n + n - n -1 л
3 2 < 1, ^ Уп < Уп-1
n + n - n

Demak, {yn} ketma-ketlik monoton kamayuvchi ekan.
Ravshanki {xn} ketma - ketlikning berilishidan, xn > 2. Endi uning
yuqoridan chegaralanganligini ko‘rsatamiz:

'1+1T к n)
1+^1- n(n - 1) 1 + + n(n - 1).. .(n - n +1) 1
n 2! n2 n! nn


1


2
2 < xn < 3.
Ravshanki, 0 < хи < yw. Monoton ketma-ketliklarning limiti haqidagi 2.11.1-, 2.11.4-teoremalarga asosan, {xn} va {yn} ketma - ketliklar chekli limitga ega:
{xn} ketma - ketlikning limitini (Eylerning belgilashi bo‘yicha) tarif bo‘yicha e deb qabul qilamiz, ya’ni lim(i + 1)n = e Malumki, e - n^W n
irrasional son bo‘lib, u e = 2,718281828459045...
Odatda, o‘zgarmas e sonini D. Neter soni ham deb yuritiladi.


■ - <-, lim - = 0. U holda, 2.8.4- n n " >' n
yoki lim yn = lim xn = e ekanligi
n^w n^

Ravshanki, 0 < yn - xn
( Пn
1 + -
I n)
xossaga asosan, lim (yn - xn)=0. H^W kelib chiqadi.



  1. olinadi. e asosli
    u ln (logarithmus

    Eslatma. e soni matematikada muhim ahamiyatga ega bo‘lib, logorifmlar sistemasining asosi qilib

logorifmni natural logorifm deb ataladi va
naturalis) kabi belgilanadi.


logorifm orasida
Malumki, o‘nli logarifm bilan natural bog‘lanish quyidagi formula orqali amalga oshiriladi.
log x = M ln x,
bunda M-o‘tish moduli bo‘lib, u M = log e = -^ = 0,434294... ga teng.
ln10


Download 49.95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling