Reja: L formal mantiq

7-ma'ruza. Sun'iy intellektda mantiqiy xulosalashlar
Reja:
L Formal mantiq.

2. 
   Predikatlar mantiqi.
   
3. 
   Birinclli tartibli predikatlar mantiqi,
   
4. 
   Deduktiv mantiqiy xulosalash,
   
5. 
   Abduktiv va induktiv mantiqiy xulosalashlar.
   

Tayanch iboralar: Formal mantiq (formal logic), predikat (prechcate), birinchi tartibli predikat/ar mantiqi (/irst-order predicate logic), an 'anavyy tnantiq (tmdl/iona/ logic), matemaiik manfiq (mathematical' logic), iah/i/ (ana/ysi9, sinte:
(synthesis), induksrya Onduct1011L deduksiyu (deduction), abstraktlashtirish
(abstraetion), analogo,' syhyekt (subjeet), birjoyli predikat (Single predycate), chin predikar (realpredícate), yo/g predikat (false predicare), ikkyoyli predikat (Doub/e predycaie), n-joy/i predikat (n-ary predicate), konyunkyya (coyyunctlon)t dizyunksiya (diyunc\ion), implikats,ya (imphcanon), umumiylik kvantori (universal quantifier), mavjudlik kvantori quantifier), normal shakl (prenex normal forno, dednk/iv mantiqyy -rulosalash (deduciive infêrence), j/ikr/ash (reasoning), Modus Ponendo Ponens, Modus Tollendo Tollens, Modus Ponendo To//ens, Modus Tollendo Ponens, fakt
(fuel), usul(semantie menhod), sintak\ik (syntaetic method). abduksiya
(abduetion), inr.hfkso,u

I. Formal mantiq

Formal mantiq — xulosalash qiymatlari qonunlari haqidagi fan, ya'ni har bir aniq holatda tajribaga murojaat qilmasdan, faqat qonunlar va fikrlash qoidalarini qo'llash natijasida oldindan o'matilgan va chinligi tekshirilgan bilimlmdir Formal mantiq an 'anavyy mun\iq va matematik mantiqdan iborat.
Án 'anaviy mantiq yangi xulosalaydigan bilimlarni olishda quyidagi mantiqiy usullardan foydalanadi [Il.
Tah/il — butunni qism elementlarga ajratishda ularning har birini alohida qaraydigam mantiqiy usul.
Sinte: — tahlil natijasida olingan barcha ma'lumotlar birlashmasi,
Induksiyu - bu likrning hususiylikdan umumiylikga, qator faktorlardan qonunga harakat jarayoni. Induktivli qoidadan odatda xususiy faktlar asosida xulosalashda„ qandaydir qonun asosida alohida hodisalar o'rtasida o 'zam aloqalami o'rnatishda foydalaniladi.
Deduksuvu—bll likrning umumiylikdan hususiylikga, qonundan alohidalikning namoyon bo'lishiga harakat jarayoni,
Abstvakî/ushtirish-barcha faktorlar majmuidan voz kechish va qandaydir bitta savolga e'tiborni qaratish.
Analogiya (o 'xshcčshlik).bîror sharoîtda ikkîta hodisaning o'xshashligidan boshqa sharoitda ham ushbu hodisalaming 0¹xsluLshligi haqida xulosa chiqarish qoidasi,
Taqqoslash — hodisalar, jarayonlar va obyektlarning o'xshashligi yoki farqllligini qandaydir belgilar asosida o'rnatîsh.
Matematik munîiq-matematikada foydalaniladigan qat^liy usullarni formal mantiq muammolariga qo'llash natijasicla paydo bo ^llgan. Fomulalarning ma.xsus tillari yordamida isbotlaîîling mantiqiy struktllîăsiîîi adekvatli tavsiîlashga erishilgan va qaťiy mantiqiy nazariyalar qurish amalga oshirilgan. Matematik mantiq mulohazalar mantîqi (mulohamarni tavsiflash) va uning kengaytmasî — predikatlar mantiqifa (xulosa chiqarishni tavsimLs11j aoslanadi.
2, Predikatlar mantiqi
Predikatlar mantiqida quyidagi simvollardan foydalanamiz:
simvollar — 1 (chin) va 0 (yolg^lon) qiymatlar qabul qiluvchi o'zgaruvchi mulohazalar.

2. 
   x, y, z,. -qandaydir M to'plamdan qiymat oluvchi predmet o'zgaruvchilar; zo,... -predmet konstantalar, yaîni predmet o *zgaruvchilarning qiymatlari.
   
3. 
   P(-), - bir joylî o'zgaruvchi predikatlar; joyli o'zgaruvchi predikatlar-
   

v ) - o'zgarmas predikatlar simvoli. - mantiqiy amallar simvollari,
6. ar - kvantorli amallar simvollari.
7.1 , j (qavs, vergul) — qo'shîmcha simvollar.
Predikat tushunchasi. Mantiq algebrasida mulohazalar faqatgina chin yoki yolg'on qiymat olishi nuqtai nazaridan qaraladi. Bunda mulohazalarning strukturasi va mazmuni qaralmaydi. Ammo fanda va amaliyotda mulohazalarning strukturasi va mazmumdan kelîb chîqadîgan xulosalardan (natijalardanj foydalaniladî,
Masalan, «Har qanday romb parallelogrammdir; ABCD-romly, demak, ABCD - parallelogramm». Asos (Shan) va xulosa mulohazalar mantiqining elementar mulohazalari bo'ladi va ulanłi bu mantiq nuqtai nazaridan bo'linmas, bir butun deb va ularning ichki strukturasini hisobga olmasdan qaraladî, Shunday qilîb, mantłq algebrasi mantiqning muhim qismi bo'lishiga qaramasdall, ko^lpgina fikrlarni tahlil qilishga qodir (yetarli) emas-
Shuning uchun ham mulohazalar mantiqini kengaytirish masalasi vujudga keldi, ya?ni elementar mulohazalarning ichki strukturasini ham tadqiq eta oladigan mantiqiy sistemani yaratish muammosi paydo bo *Idi,
Bunday sistema mulohazalar mantiqini o 'zining bir qismi sifatida butunlayiga o^sz ichiga oladigan predikatlar mantiqidir.
161
Predikatlar mantiqi an'anaviy formal mantiq singari elementar mulohazani subyekt va predikat qismlarga bo'ladi.
Subyekt — bu muloha741da biror narsa haqida nimadir tasdiqlaydi', predikat bu subyektni tasdiqlash- '
Masalan, «5 - tub son» mulohazasida «5» - subyekt, "tub son» - predikat. Bu mulohazada «5» «tub son bo'lish» xususiyatiga ega ekanligi tasdiqlanadi.
Agar keltirilgan mulohazada ma'lum 5 sonini natural sonlar to'plamidagi x o'zgaruvchi bilan almashtirsak, u holda «x - tub son» ko'rinishidagi mulohaza formasiga (shakliga) ega bo'lamiz. o'zganmvchining bir xil qiymatlari (masalan, v=13, x—3, el 9) uchun bu forma chin mulohazalar va x o'zgaruvchining boshqa qiymatlari (masalan, x—10, uchutl bu roma yolg'on mulohazalar beradi.
Aniqki, bu forma bir x argumentli funksiyani aniqlaydi. Bu funksiyaning aniqlash sohasi natural sonlar to'plami N va qiymatlar sohasi to'plam bo'ladi,
Ta'rif, M io aniqlangan va 0} go 'piamdan qiymai qubu/ qiiuvchj bir argument/i P(s) funkMyaga b}rjoy/i (bir o 'rinli) predikuf deb ay/jladi.
M to-plamga PO) predikatning aniqlanish sohasi deb aytamiz
P(x) predikat chin qiymat qabul qiluvchi hamma x e M elementlar to'plamiga PO) predikatning chinlik to'plami deb aytiladi, ya'ni P(s) predikatning chinlik to'plami - Ip to'plamdir:
Masalan, {f I-tub son» - pnedikati N natural sonlar to'plamida aniqlangan va uning /F chinlik to'plami hamma tub sonlar to'plamidan iborat. «. sinx—0» - Q(s) predikati R haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan va uning /e chinlik to'plami = PDT,keZ}. "Parallelogramm diagonallari bir-biriga perpendikulyardir» - cl\x) predikatning aniqlanish sohasi hamma parallelogrammlar to'plami va chinlik to'plami hamma romblar to'plami bo'ladi,
Bir joyli predikatlarga yuqorida keltirilgan misollar pnedmetlaming xususiyatlarini ifodalaydi.
Ta'r'if. Agar M to'piamda aniq/angan P(x) prec/jkat uchun I = ho 'Isa, u aynan ehin (aynan yolg 'Oh) deb ay/iludi,
Endi ko^tp joyli predikat tushunchasini aniqlaymiz. Ko'p joyli predikal predmetlar orasidagi munosabatni aniqlaydi,
«Kichik» munosabati ikki predmet orasidagi binar munosabatni ifodalaydi,
(bu yerda x,yeZ) binar munosabat ikki argumentli funksiyani ifodalaydi. Bu funksiya Z x Z to-plamda aniqlangan va qiymatlar sohasi {1.0} to'plam bo'ladi,
Ta'rif. 10 'plamda aniqlangan va ti,ovo'plunulan oluvchj ikki argnmewli funksiyuga ikkijoyli predikdl deb aygj/adi.
Masalan, «r=y» - ikki joyli predikat Rⁱ —Rx R to'plamda aniqlangan; «xl.y» - to'g'ri chiziq y to'g'ri chiziqqa perpendikulyar ikki joyli predikat bir tekislikda yotuvchi to'g'ri chiziqlar to'plamida aniqlangan.
n - joyli predikat ham xuddi shunday aniqlanadi-
Predikatlar ustida mantiqiy amallar. Predikatlar ham mulohazalar singari faqatgina chin va yolg'on (1,0) qiymat qabul qi ganliklari tufayli ular ustida mulohazalar mantiqidagi hamma mantiqiy amallami bajarish mumkin.
Bir joyli predikatlar misolida mulohazalar mantiqidagi mantiqiy amallarning predikatlarga tatbiq etilishini ko'raylik.
M to'plamda P(x) va Q(x) predikatlar aniqlangan bo'lsin.
Ta'rif. Berilgan M to'plamda aniqlangan P(x) va Q(x) predikadarning konynnksiyas;j deb, vu x EM ning P(x) vu bir vaq/du chin wymaf qabu/ qi/gandaginu chin wymat qubul qilib, qo/gan barcha ho//arda yo/g 'on qtymaf qubul qi/uvch} yang} predikatga uyti/ud/ va u P(x) Q(x) kubi be/gilanadi.
P(x) Q(x) predikatning chinlik sohasi /p to'plamdan, ya'ni P(x) va Q(x) predikatlar chinlik sohalarining umumiy qismidan iborat bo 'ladi,
Masalan, P(x): «x -jun son» va Q(x): - toq son» predikatlar uchun «xjun son va x -toq son»: pred ^Ekatlar konyunksiyasi P(x) A Q(x) mos keladi va uning chinlik sohasi 4$ - bo'sh to'plamdan ibotat bo'ladi,
Ta'rif. Beri/gan M io'plamda aniqiangan P(x) va QØ) predikat/arning dizyunksiyasi deb,faqaf vafaqatg}na EM mng q;ymutlarida uniq/ungan P(x) va .yolg qubul qilganda Y'01g ⁱon qabul qilib, qolgan ho/larc/cj ehin qiynj(jl qahul qiluvchi yangi predikojga aytiladj P(x) v be/gilanadi.
PO)v QO) predikatning chinllk sohasi IF UIQ to'plamdan iborat bo'ladi.
Ta'rif, Agar hamma x EM qiymu//arda P(x) predika/ chin qjymai qubu/ qi/ganda yo/g 'on wymat va x e M ning barchu wymatlurida PO) predikat yo/g 'on qjyyn01 qahul qilganda chin cpymat qabid qiluvchi PCx) predikatning Inkori deb ay\i/adi va u P(r) kabi be/gilanad/.
Bu ta'rifdan —M VIp —c/p kelib chiqadi-
Ta'rif. Fugat va fuqatgina r e M lur uehun bir vaqtda P(x) chin qiymat va Q'(x) yo/g'on qubul qilganda yolg'on qabul qilib. qolgan hamma ho//arda chin qubu/ qiladigan P(Å•) predikcnga P(x) vc/ ax) predikat/avnjng deb uy/}/adi, Har bir tayitilangan x EM uchun
tengkuchlilik to'g'ri bo'lganligidan J — I IJ/ —CIplJIe o'rinlidir.
Umumiylik va mavjudlik kvantorlari. M to'plamda aniqlangan P(x) predikat berilgan bo'lsin„ Agar a e M ni P(x) predikatning argumenti o'rniga qo'ysak* u holda bu predikat PO mulohazaga aylanadi.
162
Predikatlar mantiqida yana ikkita amal mavjudki, ular bir joyli predikatni mulohazaga aylantiradi.
Umumiylik kvantori. M to'plamda aniqlangan P(x) predikat benlgan bo'lsin. Har qanday uchun P(x) chin va aks holda yolg'on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini P(x) shaklda yozamiz. Bu mulohaza endi x ga bog'liq bo'lmay qoladi va u quyidagicha o'qiladi: «Har qanday x uchun P(x) chin», v sjmvol umunuylik kvantori deb aytiladi, Aytilgan fikrlarni matematik tilda quyidagicha yozish mumkin:
I, agar xamma x e M uchun P(x) = I ho' Isa, VxP(x) —
O, aks xo/da
P(-x) predikatda x ni erkin (ozod) o'zgaruvchi va Vx P(x) mulohazada x ni umumiylik kvantori bilan bog'langan o'zgaruvchi deb aytiladi,
Mavjudlik kvantori. P(s) predikat M to'plamda aniqlangan bo'lsin. Hech bo'lmaganda birorta uchun P(x) predikat chin va aks holda yolg'on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini AKP(x) shaklda yozamiz Bu mulohaza x ga bog'liq emas va uni quyidagicha o'qish mumkin: «Shunday mavjudki, P(X) =1», ya'm l, agar hirortax e M uchun P(x) = I ho' Isa,
3xP(x) =
0, aks xolda
3 simvol mavjudlik kvantori deb ataladi, mulohazada x o'zgmuvchi 3 kvantori bilan bog'langan bo'ladi.
Masalan, N natural sonlar to'plamida P(X) predikat berilgan bo'lsin: «v - tub son», Kvantorlardan foydalamb ushbu predikatdan quyidagi mulohazalarni hosil qilish mumkim - «Hamma natural sonlar tub sonlar bo'ladi»; «Shunday natural son nutvjudki, u tub son bo'ladi»- Ravshanki, birinchi mulohaza yolg'on va ikkinchi mulohaza chin bo'ladi.
Ma'lumki, mulohaza faqat P(x) aynan Chin predikat bo'lgandagina chin qiymat qabul qiladi. mulohaza bo'lsa, PO) aynan yolg'on predikat bo'lgandagina yolg'on qiymat qabul qiladi,
Kvantorli amallar ko'p joyli predikatlarga ham qo'llaniladi. Masalan, M to'plamda ikki 'Oyli predikat berilgan bo'lsifi. Agar predikatga o'zgaruvchi bo'yicha kvantorli amallarni qo'llasak, u holda ikki joyli predikatga birjoyli (yoki birjoyli predikatni mos qilih qo'yadi.
Bir joyli predikat faqat y o'zgaruvchiga bog'liq va o'zgaruvchiga bog'liq emas bo'ladi, Ularga y bo'yicha kvantorli amallami qo'llaganimizda quyidagi mulohazalarga ega bo'lamiz:
3yELrftx,y) .
Masalan, to'g'ri chiziqlar to'plamida aniqlangan -Ly» predikatni quyidagi shakllarda berish mumkim
1. - «Har qanday x to^lg^lri chiziq har qanday y to'g'ri chiziqqa perpendikulyar».
- «Shunday y to'g'ri chiziq mavjudki, u har qanday x to'g'ri chiziqqa pełpendikulyardir»-
3. - «Har qanday y to'g'ri chiziq uchun shunday to'g^lri chiziq mavjudki, to'g'ri chizig'i y to'g'ri chiziqqa perpendikulyar»,
Bu misOllardan ko'rinib turibdiki, umumiy hołda kvanłorlar tartibi o'zgarishi bilan mulohamnîng mazmuni va demak, unîng mantiqiy qîymati ham o'zgaradi.
C hekli son elementlarî bo'lgan M to'plamda aniqlangan P(x) predîkat berilgan IN)'Isin, Agar PO) predîkat aynan chin bo'lsa, u vaqtda mulohazalar ham chin bo'ladi, Shu hołda VxP(x) mulohaza va konyunksiya ham chin bo'ladilar.
Agar hech bo'lmaganda birorta a, EM element uchun P(aŕ) yolg'on bo'lsa, u hołda VxP(x) mulohaza va konyunksiya ham yolg'on bo'ladi,
Demak,

tengkuchli iPoda to'g'ri bo'ladi.
Yuqoridagidek fikr yuritish yo'li bilan

tengkuchli ifodaning mavjudligini ko'rsatish mumkin,
Bu yerdan kvantorli amallami cheksiz sohalarda konyunksiya va dizyunksiya amallarining umumlashmasi sifatida qarash mumkinligi kelib chiqadi.
Predikatlar mantiqi formulasining qiymati tushunchasi. Endi predîkatlar mantiqi formulasîning qîymatî tushunchasmî aniqlayllk.
Predikatlar mantiqi formulasining mantiqiy qiymati uch xil o'zga.łuvchilar: 1) formulaga kiruvchi o^lzgaruvchi mulohazalarning; 2) M to'plamdagi erkin predmet o'zgaruvchilarning•, 3) predikat o'zganłvchilarning qiymatlariga bog'liq bo'ladi.
Uch xil o'zgaruvchilardan har błrining ma'lum qîymatlarida predikatlar mantiqining fomłulasi chin yoki yolg"on qiymat qabul qiluvchi mulohazaga aylanadi
Misol sifatida quyidagi fonnulani ko'raylik:
(7,1) (7.1) formulada ikki joyli predlkat P(xły) M xM to'plamda aniqlangan, bu yerda M l, 2,..., n,...ț .
(7.1) formuła ifodasiga o 'zgaruvchi predikat va predmet o^szgaruvchilar x, y, : lar kirgan, Bu yerda y va z lar kvantorlar bilan bog'langan o'zgaruvchilar, - erkin o'zgaruvchi.
predikatning ma'lum qiymati sifatida tayinlangan < y» predîkatnî olamiz, erkîn o'zgaruvchi ga xⁱ' —5 cif qîymat beramiz, U vaqtda y ning x^o —5 dan kichik qiymatlari uchun P^O (x^o ,y) predikat yolg'on qiymat qabul qiladi, implikasiya esa z ning hamma e M qiymatlari uchun chin bo'ladi, ya'lli (P^O (r,y) —Y P^O (y, z)) mulohaza «chin» qiymatga ega bo'ladi.
Misol Natural sonlar to'plami N da va R(r) predikatlar berilgan bo'lsin,
VÅP(x) A ) formulaning qiymati quyidagi hollarda topilsin:
«x soni 3 gabo'linadi», soni 4 ga bo'linadi», R(x): «s soni 2 ga bo'linadi» ;
Yechim. Bu holda P(x) A. Q(x) formula x soni 12 ga bo'linadi degan tasdiqni ifodalaydi. O'z navbatida hamma x lar uchun x soni 12 ga bo'linsay u holda soni 2 go ham bo'linadi- Demak, bu holda formulaning qiymatJ chin bo'ladi,
Predikatlar mantiqining tengkuchli formulalari. Predikatlar mantiqida ham tengkuchli formulalar tushunchasi mavjud.
Ta'rif. Predikatlar mantiqining ikkita A va B formulalari 0 'z tarkjbiga kiruvchj M sohagu Oid ':garuvchilarning qiymtl/lurida manliqiy qwmai qubui qi/su/ur, u/ar M sohadu iengkuch/i
Ta'r'if. Agar ixiiyoriy sohada va B formuiaiar tengkuch/i bo'/sa/ar, u ho/da ular tengkuchliformulalav deb co.'tiladi va A B ko 'vinishda
Agar mulohazalar algebrasidagi hamma tengkuchli formulalar ifodasidagi o'zgaruvchi mulohamar o'rniga predikatlar mantiqidagi formulalar qo'yilsa, u holda ular predikatlar mantiqining tengkuchli formulalariga aylanadi, Ammo, predikatlar mantiqi ham o'ziga xos asosiy tengkuchli formulalarga ega- Bu tengkuchli formulalaming asosiylarini ko^srib o'taylik- A(s) va B(x) - o'zgaruvchi predikatlar va C - o'zgaruvchi mulohaza bo'lsin. U holda predikatlar mantiqida quyidagi asosiy tengkuchli formulalar mavjud:
1.
2. ELVA(s) VrA(x)
3, YxA(x) = axA(x) ,

4, axtA(x):: VxA(x) ,

5, Vx.4(y) A VxB(-x)
6, C A
7. C v
8, C VxB(x)

15, , 16
Predikailar maniiqi formulasining normal shakli.
Ta'rif. Agar predıkaıkır mantiqi formulasi ıfodasida .fcıqai inkor, konyunksiya, dizyunksiya v) va hzmıorli (W, 3) qaıncı.yhjh, elememar formulcıkjrga (predvneı va 0 ':garuvchj predikNlkırgu) ıegi,sffli '[su, pıormui deyii%di.
Ravshanki, predikatlar mantiqi va mulühazalar algebrasidagi asosiy tengkuchliliklardan foydalanib, pıedikatlar maniiqining har bir formulasini deyırlj normal .shaklga keliirjsh mumkin, Masalan,
—ş Yy@y)) —+ R(z) formulani deyarşı; normal ,shakîga keltimylik-
v —314:1 z v R(z)
3.rP(x) VJQ(y) v R(z) arP(x) 33Q(y) v R(z) Demak,
Cl.xP(x) —ş —ş R(z) IxP(x) 14:)
Predikatlar mantiqining deyarlj normal shukFdagi formulalari orasida norma/ shukldugiformululari muhilli 1*0'1 0'ynaydi,
Bu Formulalarda kvantorli amallar yoki butunlay qatnashmaydi, yoki ular mulohualar algebrasıning hamma amallaridan keyin bajariladi, ya'ni normal shakldagi formula quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
bunda (r y,) simvoli o'miga yoki Elr, kvantorlaming biri tushuııiladi va A formula ifodasida kvanıorlar bo'lmaydi,
Teorema. Prediküllar mamjqjning har qcmday shüklga kellirjsh mumkin.
Misol. Formulani normal shaklga kellirish ıalab etilsin. Â formulada tengkuchli almashtirishlami o'tkazib, uni normal shaklga keltiramiz
A
Bajariluvchi va umumqiymatli formulalar.
Ta'rif. Agar A formula 'fodusıga kiruvchi va M sohagu cüd 0 qjymmlaj%i mavjjvd bu qjymmlcjrckj A chjn iliymaı qjl.sa, u holdü predikğlllur maşlliqinjng A formula,sj M deh ayli/udj-
Ta'rif. Agar slıunday solla ıncıvpıd bo 'libi unda  jimnuFa bajariiadigan bo u vuqidu A baıariluvchiformula deh ayliladi.
Demak, agar biror formula bajariluvchi bo'lsa, bu hali uning istalgan sohada baiariluvchanligini bildirmaydi.
Ta'rif. Agar .4 ning Ifodasigu kiruvchi va M sohuga Oid hunnna o ':garuvchi/arnjng qqymw/arida A formula chin qiymu/ qabul qjlsa, u holdu A formula M sohada aynan chinformula deb uyfiladi.
Ta'rif. Agar A formula hap qanday sohada aynan chin ho 'Isa. holdu A ga formula deb uyliludi.
Ta'rif, Agar Ifodasiga kiruvchi va M sohuga oid hamma o 'zgaruvchi/arning wymu//ar}du A formula yo/g 'on q;ymut qabul qilsu, u holdu A formula M sohuda aynan yolg 'onformula deb ay/iladj-
Ta'rif. formulaga qommi deh cryti/adi.
Endi bir nechta misollar keltirayllk
Misol: formula bajariluvchidir: Haqiqatan ham, agar « predikat M =EsE sohada aniqlangan (E —tm bo'lsa, u holda M sohada aynan chin formula bo'ladi, demak; bu sohada bajariluvchi formuladir. Ammo, agar EL — IQ, k} uchun «r < _.v» predikat chekli Ml — El * E, sohada, aniqlangan bo'lsa, u holda Ml sohada aynan yolg'on formula bo'ladi va, demak, sohada bajariluvchimasdir. Ravshanki, umumqiymatli formula bo'lmaydi
Misol. formula bajariluvchidir. Haqiqatan ham, agar P(x): « I-jun son» predikat uchun M = ENE sohada, aniqlangan bo'lsa, u holda bu formula M sohada aynan chin t%fladi, demak, M sohada bajariluvchi formuladir.
Ammo, agar P(x): «x-juft son» predikat El ...l uchun Ml = El x El sohada aniqlangan bo'lsa, u holda Elr3yfP(x) M, sohada aynan yolg'on formula bo'ladi, demak, bu sohada balarilmas formuladjr,
Miso'. formula istalgan ixtiyoriy M sohada aynan chin bo'ladi, Demak, u umumqiymatli fOrmuIa, ya'ni mantiqiy qonundir,
Misol. VxlP(x) AP(s)] formula istalgan ixtiyoriy sohada aynan yolg'on va shuning uchun ham u bajarilmas formula bo'ladi.